Um densímetro de baixo custo foi construído por alunos de química experimental. Em sua elaboração, para determinação da constante característica do densímetro (k), foi feito uso de álcool etílico 70 %. No entanto, ocorreu um equívoco. Erroneamente os estudantes utilizaram a densidade da água (0,998 g / cm^3) ao invés da densidade do álcool 70 %. O valor para k encontrado foi de 12.475. Caso seja necessário, considere a densidade do álcool 70 % igual a 0,870 g / cm^3.
Utilizando esse densímetro, foi calculada a densidade de um líquido desconhecido, que correspondeu a 1,540 g / cm^3. Sabendo que o densímetro foi elaborado incorretamente, qual a verdadeira densidade desse líquido?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um densímetro, que é um instrumento usado para medir a densidade de líquidos. Os alunos de química erraram na construção dele porque usaram a densidade da água ( 0,998 , g/cm^3) ao invés da densidade correta do álcool etílico 70% ( 0,870 , g/cm^3). Com esse erro, eles calcularam a constante característica do densímetro, que foi k = 12,475. Agora, usando esse densímetro errado, eles mediram a densidade de um líquido desconhecido e obtiveram 1,540 , g/cm^3. Nosso objetivo é descobrir qual seria a verdadeira densidade desse líquido, considerando o erro na construção do densímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa constante característica ( k) do densímetro. Geralmente, a densidade ( rho) de um líquido pode ser medida usando a fórmula:
rho = kV
Onde V é algum valor medido pelo densímetro. No nosso caso, os alunos calcularam k usando a densidade errada da água ao invés do álcool.

Passo 3

Como os alunos usaram a densidade errada para calcular k, precisamos relacionar os dois valores de densidade para ajustar a constante. Sabemos que eles usaram:
k = 12,475
Usando a densidade da água ( rhoágua = 0,998 , g/cm^3á), mas o correto seria usar a densidade do álcool 70% ( rhoálcool = 0,870 , g/cm^3á).

Passo 4

Vamos encontrar a relação entre a constante calculada erradamente e a constante que deveria ter sido calculada corretamente. A relação entre as constantes pode ser dada por:
kcorreta = kerrada times rhoáguarhoálcool áá
Substituindo os valores:
kcorreta = 12,475 times 0,9980,870

Passo 5

Vamos calcular kcorreta:
kcorreta = 12,475 times 0,9980,870 approx 12,475 times 1,148 = 14,327

Passo 6

Agora que temos a constante correta do densímetro, podemos usá-la para encontrar a verdadeira densidade do líquido desconhecido. A fórmula rearranjada para encontrar a densidade é:
rho = kcorretaV
Mas no caso, o valor medido foi 1,540 , g/cm^3 usando a constante errada. Para ajustar isso, usamos a relação inversa:
rhoverdadeira = kcorretakerrada times rhomedida
Substituindo os valores:
rhoverdadeira = 14,32712,475 times 1,540

Passo 7

Vamos calcular agora:
14,32712,475 approx 1,148
Então:
rhoverdadeira = 1,148 times 1,540 approx 1,767 , g/cm^3

Resposta

A verdadeira densidade do líquido desconhecido é aproximadamente 1,767 , g/cm^3.

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