Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês em um concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que: I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II. 16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês; VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi:
a) 44
b) 46
c) 47
d) 48
e) 49

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar as informações fornecidas. Estamos trabalhando com um concurso onde os candidatos foram avaliados em três disciplinas: matemática, português e inglês. Queremos descobrir o total de candidatos que participaram do concurso. Para isso, vamos usar o conteúdo de teoria de conjuntos, especificamente o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os conjuntos:
  • $ M $: candidatos que obtiveram nota mínima em matemática.
  • $ P $: candidatos que obtiveram nota mínima em português.
  • $ I $: candidatos que obtiveram nota mínima em inglês.
Sabemos que 20 candidatos obtiveram nota mínima nas três disciplinas, então:
M

Passo 3

Agora, vamos interpretar as informações adicionais:
  1. 14 não obtiveram nota mínima em matemática:
|M'| = 14
2. 16 não obtiveram nota mínima em português:
|P'| = 16
  1. 12 não obtiveram nota mínima em inglês:
|I'| = 12
4. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e português:
|M' cap P'| = 5
  1. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e inglês:
|M' cap I'| = 3
6. 7 não obtiveram nota mínima em português e inglês:
|P' cap I'| = 7
  1. 2 não obtiveram nota mínima em nenhuma das disciplinas:
|M' cap P' cap I'| = 2

Passo 4

Queremos encontrar o total de candidatos, ou seja, $ N = |M \cup P \cup I| $. Usaremos o princípio da inclusão-exclusão:
N = |M cup P cup I|

Passo 5

Para aplicar a fórmula, precisamos encontrar $ |M| $, $ |P| $, $ |I| $, $ |M \cap P| $, $ |M \cap I| $ e $ |P \cap I| $.
Sabemos que:
|M|
|P|
|I|
Também:
|M cap P|
|M cap I|
|P cap I|

Passo 6

Substituindo na fórmula do princípio da inclusão-exclusão:
|M cup P cup I| = (N - 14) + (N - 16) + (N - 12) - (N - 25) - (N - 23) - (N - 21) + 20
Simplificando:
|M cup P cup I| = 3N - 42 - N + 25 - N + 23 - N + 21 + 20
|M cup P cup I| = 3N - N - N - N - 42 + 25 + 23 + 21 + 20
|M cup P cup I| = -N - 42 + 25 + 23 + 21 + 20
|M cup P cup I| = -N - 42 + 89
|M cup P cup I| = -N + 47

Passo 7

Sabemos que $ |M \cup P \cup I| = N - |M’ \cap P’ \cap I’| = N - 2 $. Assim:
|M cup P cup I| = N - |M' cap P' cap I'| = N - 2
Somando $ N $ nos dois lados:
-N + 47 = N - 2
Adicionando 2 nos dois lados:
N
Dividindo por 2:
47 = 2N - 2
Como o número de candidatos precisa ser inteiro, revisamos os cálculos e percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:

Passo 8

Substituindo na fórmula do princípio da inclusão-exclusão:
|M cup P cup I| = (N - 14) + (N - 16) + (N - 12) - (N - 25) - (N - 23) - (N - 21) + 20
Simplificando:
|M cup P cup I| = 3N - 42 - (N - 25 + N - 23 + N - 21) + 20
|M cup P cup I| = 3N - 42 - 3N + 69 + 20
|M cup P cup I| = (3N - 3N) + (-42 + 69 + 20)
|M cup P cup I| = 47
Como $ |M \cup P \cup I| = N - 2 $, então:
|M cup P cup I| = N - 2
N - 2 = 47

Resposta

A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 49.

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