Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês em um concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que: I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II. 16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês; VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês. A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi:
a) 44
b) 46
c) 47
d) 48
e) 49
a) 44
b) 46
c) 47
d) 48
e) 49
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar as informações fornecidas. Estamos trabalhando com um concurso onde os candidatos foram avaliados em três disciplinas: matemática, português e inglês. Queremos descobrir o total de candidatos que participaram do concurso. Para isso, vamos usar o conteúdo de teoria de conjuntos, especificamente o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os conjuntos:
- $ M $: candidatos que obtiveram nota mínima em matemática.
- $ P $: candidatos que obtiveram nota mínima em português.
- $ I $: candidatos que obtiveram nota mínima em inglês.
Sabemos que 20 candidatos obtiveram nota mínima nas três disciplinas, então:
Passo 3
Agora, vamos interpretar as informações adicionais:
- 14 não obtiveram nota mínima em matemática:
2. 16 não obtiveram nota mínima em português:
- 12 não obtiveram nota mínima em inglês:
4. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e português:
- 3 não obtiveram nota mínima em matemática e inglês:
6. 7 não obtiveram nota mínima em português e inglês:
- 2 não obtiveram nota mínima em nenhuma das disciplinas:
Passo 4
Queremos encontrar o total de candidatos, ou seja, $ N = |M \cup P \cup I| $. Usaremos o princípio da inclusão-exclusão:
Passo 5
Para aplicar a fórmula, precisamos encontrar $ |M| $, $ |P| $, $ |I| $, $ |M \cap P| $, $ |M \cap I| $ e $ |P \cap I| $.
Sabemos que:
Também:
Passo 6
Substituindo na fórmula do princípio da inclusão-exclusão:
Simplificando:
Passo 7
Sabemos que $ |M \cup P \cup I| = N - |M’ \cap P’ \cap I’| = N - 2 $. Assim:
Somando $ N $ nos dois lados:
Adicionando 2 nos dois lados:
Dividindo por 2:
Como o número de candidatos precisa ser inteiro, revisamos os cálculos e percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:
Passo 8
Substituindo na fórmula do princípio da inclusão-exclusão:
Simplificando:
Como $ |M \cup P \cup I| = N - 2 $, então:
Resposta
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi 49.