Qual dentre as equações abaixo representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no xo
, e que passa pelo ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das equações dadas representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no eixo
, e que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um parabolóide hiperbólico e como verificar se uma equação se encaixa nessa definição. Além disso, vamos usar a informação do ponto dado para confirmar qual equação está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um parabolóide hiperbólico. É uma superfície quadrática com duas direções curvas opostas, parecendo uma sela. A equação geral de um parabolóide hiperbólico com vértice na origem e eixo no
é:
Essa forma mostra que para cada valor de
, as seções em
são hipérbolas.
Passo 3
Vamos analisar as opções dadas e ver qual delas se encaixa nessa forma. As equações fornecidas são:
Vamos comparar essas equações com a forma geral que vimos.
Passo 4
A primeira equação
pode ser rearranjada para:
Isso está na forma
, que é exatamente a forma de um parabolóide hiperbólico.
Passo 5
Vamos verificar se o ponto
está na superfície dessa equação. Substituindo
,
, e
na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está na superfície.
Passo 6
Agora, vamos olhar as outras opções para garantir que nenhuma delas também atende aos critérios.
-
Opção 2:
rearranda para , que representa um parabolóide elíptico, não hiperbólico. -
Opção 3:
não segue a forma padrão de um parabolóide. -
Opção 4:
rearranda para , que também é um parabolóide elíptico.
Resposta
A equação que representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no
, e que passa pelo ponto
é: