Qual dentre as equações abaixo representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no xo z, e que passa pelo ponto (3,0,1) ?
3 x^2-y^2=27 z
square 4 x^2+9 y^2=36 z
square 4 x^2+9 y^2=36 z^2 square 3 x^2+y^2=27 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das equações dadas representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no eixo , e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um parabolóide hiperbólico e como verificar se uma equação se encaixa nessa definição. Além disso, vamos usar a informação do ponto dado para confirmar qual equação está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um parabolóide hiperbólico. É uma superfície quadrática com duas direções curvas opostas, parecendo uma sela. A equação geral de um parabolóide hiperbólico com vértice na origem e eixo no z = x^2a^2 - y^2b^2 é:
Essa forma mostra que para cada valor de , as seções em são hipérbolas.

Passo 3

Vamos analisar as opções dadas e ver qual delas se encaixa nessa forma. As equações fornecidas são:
Vamos comparar essas equações com a forma geral que vimos.

Passo 4

A primeira equação z = 3x^227 - y^227 implies z = x^29 - y^227 pode ser rearranjada para:
Isso está na forma , que é exatamente a forma de um parabolóide hiperbólico.

Passo 5

Vamos verificar se o ponto 3(3)^2 - (0)^2 = 27 times 1 implies 3 times 9 = 27 implies 27 = 27 está na superfície dessa equação. Substituindo , , e na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está na superfície.

Passo 6

Agora, vamos olhar as outras opções para garantir que nenhuma delas também atende aos critérios.
  • Opção 2: rearranda para , que representa um parabolóide elíptico, não hiperbólico.
  • Opção 3: não segue a forma padrão de um parabolóide.
  • Opção 4: rearranda para , que também é um parabolóide elíptico.

Resposta

A equação que representa um parabolóide hiperbólico com vértice na origem, eixo no 3x^2 - y^2 = 27z , e que passa pelo ponto é:

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