A equação da elipse com centro na origem, semi-eixo maior de comprimento 6, focos no eixo y e passando elo ponto (-2 raiz5, 2) é:
square x^2+4 y^2=36 square 4 x^2+y^2=36 square x^2+85 y^2=36 square 85 x^2+y^2=36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas: o centro está na origem, o semi-eixo maior tem comprimento 6, os focos estão no eixo , e a elipse passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula geral da equação da elipse e entender como os parâmetros se relacionam com essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse. Quando o centro está na origem e os focos estão no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 , a equação geral é:
x^2b^2 + y^236 = 1
Aqui, é o comprimento do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor. Sabemos que o semi-eixo maior , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de c^2 = a^2 - b^2 . Para isso, vamos utilizar a relação entre , e a distância dos focos :
Mas também sabemos que os focos estão no eixo , então a distância dos focos será determinada pela coordenada em .

Passo 4

Como a elipse passa pelo ponto (-2raiz5)^2b^2 + 2^236 = 1 , podemos substituir esses valores na equação para encontrar 20b^2 + 436 = 1 :
20b^2 + 19 = 1
Calculando:
Simplificando a segunda fração:

Passo 5

Agora, vamos isolar 20b^2 = 1 - 19 = 89 :
20 = 89b^2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Resolvendo para b^2 = 20 times 98 = 1808 = 452 :
Portanto, .

Passo 7

Agora que temos x^2452 + y^236 = 1 , podemos escrever a equação completa da elipse:
2x^245 + y^236 = 1
Simplificando as frações:
8x^2 + 5y^2 = 180
Multiplicando ambos os lados por 180 (mínimo múltiplo comum de 45 e 36) para eliminar os denominadores:
8x^2180 + 5y^2180 = 1
Dividindo toda a equação por 180 para voltar à forma padrão:
8x^2180 + y^236 = 1 implies 8x^25 times 36 + y^236 = 1 implies 8x^25 + y^2 = 36
Simplificando:

Resposta

A equação correta da elipse é:
85 x^2 + y^2 = 36

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