A equação da elipse com centro na origem, semi-eixo maior de comprimento 6, focos no eixo
e passando elo ponto
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas: o centro está na origem, o semi-eixo maior tem comprimento 6, os focos estão no eixo
, e a elipse passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula geral da equação da elipse e entender como os parâmetros se relacionam com essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse. Quando o centro está na origem e os focos estão no eixo
, a equação geral é:
Aqui,
é o comprimento do semi-eixo maior e
é o comprimento do semi-eixo menor. Sabemos que o semi-eixo maior
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos utilizar a relação entre
,
e a distância dos focos
:
Mas também sabemos que os focos estão no eixo
, então a distância dos focos será determinada pela coordenada
em
.
Passo 4
Como a elipse passa pelo ponto
, podemos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Calculando:
Simplificando a segunda fração:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a equação completa da elipse:
Simplificando as frações:
Multiplicando ambos os lados por 180 (mínimo múltiplo comum de 45 e 36) para eliminar os denominadores:
Dividindo toda a equação por 180 para voltar à forma padrão:
Simplificando:
Resposta
A equação correta da elipse é: