A equaçāo da parábola que tem foco em
, eixo focal
e passa pelo ponto ( 2,0 ) é:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa resolver aqui. Temos que encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em
, o eixo focal é a reta
(ou seja,
) e passa pelo ponto
. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. A equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical (que é o nosso caso, já que o eixo é
) é dada por:
Onde
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco. Se
, a parábola abre para a direita; se
, abre para a esquerda.
Passo 3
Sabemos que o foco da parábola está em
. Na equação
, o foco fica em
. Portanto, comparando com o foco dado:
Então, já temos que
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Usando a primeira equação
, vamos buscar outra equação para resolvermos o sistema. Para isso, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto
.
Substituindo
e
na equação da parábola:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos isolar
:
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:
Passo 7
Vamos analisar os valores de
:
-
Se
, então: -
Se
, então:
Passo 8
Agora, vamos escrever as equações das parábolas correspondentes a cada valor de
:
-
Para
e : -
Para
e :
Resposta
A equação da parábola é
.