A equaçāo da parábola que tem foco em (-2,3), eixo focal x+2=0 e passa pelo ponto ( 2,0 ) é:

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa resolver aqui. Temos que encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em (-2,3), o eixo focal é a reta x + 2 = 0 (ou seja, x = -2) e passa pelo ponto (2,0). A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. A equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical (que é o nosso caso, já que o eixo é x = -2) é dada por:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice ao foco. Se p > 0, a parábola abre para a direita; se p < 0, abre para a esquerda.

Passo 3

Sabemos que o foco da parábola está em (-2,3). Na equação (y - k)^2 = 4p(x - h), o foco fica em (h + p, k). Portanto, comparando com o foco dado:
h + p = -2
k = 3
Então, já temos que k = 3.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de h e p. Usando a primeira equação h + p = -2, vamos buscar outra equação para resolvermos o sistema. Para isso, vamos usar o fato de que a parábola passa pelo ponto (2,0).
Substituindo x = 2 e y = 0 na equação da parábola:
(0 - 3)^2 = 4p(2 - h)
9 = 4p(2 - h)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. h + p = -2
  2. 9 = 4p(2 - h)
Da primeira equação, podemos isolar h:
h = -2 - p
Substituindo na segunda equação:
9 = 4p[2 - (-2 - p)]
9 = 4p(2 + 2 + p)
9 = 4p(4 + p)
9 = 16p + 4p^2

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
4p^2 + 16p - 9 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
p = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4, b = 16 e c = -9.
Calculando o discriminante:
De
Então,
p = -16 pm raiz4008
p = -16 pm 208
As soluções são:
p = 48 = 0.5
p = -368 = -4.5

Passo 7

Vamos analisar os valores de p:
  1. Se p = 0.5, então:
    h = -2 - 0.5 = -2.5
  2. Se p = -4.5, então:
    h = -2 - (-4.5) = 2.5

Passo 8

Agora, vamos escrever as equações das parábolas correspondentes a cada valor de p:
  1. Para p = 0.5 e h = -2.5:
    (y - 3)^2 = 4 times 0.5 (x - (-2.5))
    (y - 3)^2 = 2(x + 2.5)
  2. Para p = -4.5 e h = 2.5:
    (y - 3)^2 = 4 times (-4.5) (x - 2.5)
    (y - 3)^2 = -18(x - 2.5)

Resposta

A equação da parábola é (y - 3)^2 = -18(x - 2.5).

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