Agora, considere o conjunto
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
, ambos com tamanho
, onde
- S só pode conter números ímpares
- T só pode conter números pares
imagine que todos os elementos de
devem ser menores do que todos elementos de
.
De quantas maneiras isso pode ser feito?
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
e queremos formar dois subconjuntos
e
, cada um com
elementos. As regras são:
-
só pode ter números ímpares. -
só pode ter números pares. - Todos os números em
devem ser menores que todos os números em .
O conteúdo que vamos usar aqui é combinatória, especificamente contagem de combinações com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos números ímpares e pares temos no conjunto
. Como
vai de 1 até
, temos:
- Números ímpares:
— total de números. - Números pares:
— também total de números.
Então, temos
opções para escolher os elementos de
(ímpares) e
opções para escolher os elementos de
(pares).
Passo 3
Agora, precisamos escolher
elementos para
e
elementos para
, mas com a condição extra de que todos os elementos de
são menores que todos os de
.
Vamos pensar assim:
-
Primeiro, escolhemos quais
números ímpares vão para . Como temos ímpares, isso pode ser feito de maneiras. -
Depois, escolhemos quais
números pares vão para . Também temos pares, então isso também pode ser feito de maneiras.
Mas aí precisamos garantir que todo número em
é menor que todo número em
. Para isso, vamos observar que:
- O menor número em
deve ser maior que o maior número em .
Como os números ímpares e pares estão alternados, a menor diferença entre um número ímpar e par consecutivos é 1. Então, para garantir que todos os elementos de
são menores que os de
, basta que o maior elemento de
seja menor que o menor elemento de
.
Uma maneira de garantir isso é escolher todos os
elementos de
dos primeiros
ímpares e os
elementos de
dos últimos
pares, de forma que haja essa separação.
No entanto, como estamos escolhendo os elementos sem reposição e mantendo a ordem, a contagem fica simplesmente multiplicando as combinações possíveis para
e para
.
Resposta
O número total de maneiras de formar os subconjuntos
e
obedecendo todas as condições é dado por:
Ou seja, a resposta final é
.