Agora, considere o conjunto
A=1,2,3, ldots, 2 n
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos S, T, ambos com tamanho k, onde
  • S só pode conter números ímpares
  • T só pode conter números pares
    E imagine que todos os elementos de S devem ser menores do que todos elementos de T.
    De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e queremos formar dois subconjuntos e , cada um com elementos. As regras são:
  • só pode ter números ímpares.
  • só pode ter números pares.
  • Todos os números em devem ser menores que todos os números em .
O conteúdo que vamos usar aqui é combinatória, especificamente contagem de combinações com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos números ímpares e pares temos no conjunto . Como vai de 1 até , temos:
  • Números ímpares: — total de números.
  • Números pares: — também total de números.
Então, temos opções para escolher os elementos de (ímpares) e opções para escolher os elementos de (pares).

Passo 3

Agora, precisamos escolher elementos para e elementos para , mas com a condição extra de que todos os elementos de são menores que todos os de .
Vamos pensar assim:
  1. Primeiro, escolhemos quais números ímpares vão para . Como temos ímpares, isso pode ser feito de maneiras.
  2. Depois, escolhemos quais números pares vão para . Também temos pares, então isso também pode ser feito de maneiras.
Mas aí precisamos garantir que todo número em é menor que todo número em . Para isso, vamos observar que:
  • O menor número em deve ser maior que o maior número em .
Como os números ímpares e pares estão alternados, a menor diferença entre um número ímpar e par consecutivos é 1. Então, para garantir que todos os elementos de são menores que os de , basta que o maior elemento de seja menor que o menor elemento de .
Uma maneira de garantir isso é escolher todos os elementos de dos primeiros ímpares e os elementos de dos últimos pares, de forma que haja essa separação.
No entanto, como estamos escolhendo os elementos sem reposição e mantendo a ordem, a contagem fica simplesmente multiplicando as combinações possíveis para e para .

Resposta

O número total de maneiras de formar os subconjuntos binomnk times binomnk e obedecendo todas as condições é dado por:
Ou seja, a resposta final é .

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