Imagine que nós temos um grupo formado por n+1 meninas e n meninos.
Imagine que nós queremos formar uma roda com essas crianças.
E imagine que Aninha (A) não quer ficar ao lado de um menino.
a) De quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de n+1 meninas e n meninos, totalizando 2n + 1 crianças. A missão é arrumar todas elas em uma roda, mas tem um detalhe: a Aninha (A) não quer ficar ao lado de nenhum menino. Isso envolve conceitos de permutação circular e restrições de posição. Vamos precisar usar um pouco de combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma roda, a gente pode “fixar” a posição da Aninha para facilitar as contas. Em permutações circulares, a posição de referência pode ser fixa porque a roda não tem começo nem fim. Então, vamos imaginar que a Aninha está em um lugar específico na roda.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que as duas pessoas ao lado da Aninha também sejam meninas, já que ela não quer ficar perto de meninos. Como temos n+1 meninas no total e uma já está fixada (Aninha), sobraram n meninas para serem colocadas nas posições adjacentes a ela.

Passo 4

As duas posições ao lado da Aninha precisam ser ocupadas por meninas. Podemos escolher essas meninas de n disponíveis. O número de maneiras de escolher e organizar essas duas meninas é dado por:
n times (n - 1)

Passo 5

Com Aninha e as duas meninas ao lado dela já posicionadas, ainda temos 2n + 1 - 3 = 2n - 2 lugares restantes na roda. Esses lugares serão ocupados pelas meninas restantes e pelos meninos. No total, ainda temos (n - 1) meninas e n meninos para serem arranjados.

Passo 6

Agora, precisamos arrumar essas 2n - 2 pessoas nos lugares restantes. Como a ordem importa e estamos lidando com posições fixas após a Aninha estar posicionada, o número de maneiras de fazer isso é dado por:
(2n - 2)!

Passo 7

Para finalizar, vamos juntar tudo. Multiplicamos o número de maneiras de escolher as meninas ao lado da Aninha pelo número de maneiras de arrumar o restante das pessoas na roda:
n times (n - 1) times (2n - 2)!

Resposta

O número total de maneiras de formar a roda, garantindo que a Aninha não fique ao lado de nenhum menino, é:
n times (n - 1) times (2n - 2)!

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