Imagine que nós temos um grupo formado por
meninas e
meninos.
Imagine que nós queremos formar uma roda com essas crianças.
E imagine que Aninha (A) não quer ficar ao lado de um menino.
a) De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós queremos formar uma roda com essas crianças.
E imagine que Aninha (A) não quer ficar ao lado de um menino.
a) De quantas maneiras isso pode ser feito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de
meninas e
meninos, totalizando
crianças. A missão é arrumar todas elas em uma roda, mas tem um detalhe: a Aninha (A) não quer ficar ao lado de nenhum menino. Isso envolve conceitos de permutação circular e restrições de posição. Vamos precisar usar um pouco de combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com uma roda, a gente pode “fixar” a posição da Aninha para facilitar as contas. Em permutações circulares, a posição de referência pode ser fixa porque a roda não tem começo nem fim. Então, vamos imaginar que a Aninha está em um lugar específico na roda.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que as duas pessoas ao lado da Aninha também sejam meninas, já que ela não quer ficar perto de meninos. Como temos
meninas no total e uma já está fixada (Aninha), sobraram
meninas para serem colocadas nas posições adjacentes a ela.
Passo 4
As duas posições ao lado da Aninha precisam ser ocupadas por meninas. Podemos escolher essas meninas de
disponíveis. O número de maneiras de escolher e organizar essas duas meninas é dado por:
Passo 5
Com Aninha e as duas meninas ao lado dela já posicionadas, ainda temos
lugares restantes na roda. Esses lugares serão ocupados pelas meninas restantes e pelos meninos. No total, ainda temos
meninas e
meninos para serem arranjados.
Passo 6
Agora, precisamos arrumar essas
pessoas nos lugares restantes. Como a ordem importa e estamos lidando com posições fixas após a Aninha estar posicionada, o número de maneiras de fazer isso é dado por:
Passo 7
Para finalizar, vamos juntar tudo. Multiplicamos o número de maneiras de escolher as meninas ao lado da Aninha pelo número de maneiras de arrumar o restante das pessoas na roda:
Resposta
O número total de maneiras de formar a roda, garantindo que a Aninha não fique ao lado de nenhum menino, é:
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Agora, considere o conjunto
Imagine que nós queremos formar dois subconjuntos
, ambos com tamanho
, onde
- S só pode conter números ímpares
- T só pode conter números pares
imagine que todos os elementos de devem ser menores do que todos elementos de .
De quantas maneiras isso pode ser feito?
Imagine que nós temos um grupo formado por
mulheres e
homens. Imagine que nós temos
-
chapéus vermelhos -
chapéus pretos -
chapéus amarelos -
chapéus brancos
a) Imagine que nós queremos formar uma fila com essaspessoas.
E imagine que - as mulheres devem usar chapéus vermelhos ou amarelos
- os homens devem usar chapéus pretos ou brancos
De quantas maneiras isso pode ser feito?