Derivada total: seja uma função escalar varphi(t) e duas funções vetoriais A(t) e B(t), onde t é um parâmetro (variável). Pede-se: (i) A^prime equiv d A / d t (algébrica e cartesiana); e (ii) propriedades: (alpha)(A+B)^prime ;(beta)(varphi A)^prime ;(gamma)(A cdot B)^prime ; e(de.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função escalar varphi(t) e duas funções vetoriais A(t) e B(t), onde t é uma variável. O conteúdo aqui é derivada total de funções vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar algumas propriedades básicas das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de A(t) em relação a t, que é representada por A^prime = d Ad t. Isso significa que estamos encontrando a taxa de variação de A em relação a t.

Passo 3

Vamos fazer isso de forma algébrica. Se A(t) = lang<= Ax(t), Ay(t), Az(t) rang<=, então sua derivada será:
A^prime = lang<= d Axd t, d Ayd t, d Azd t rang<=
Isso quer dizer que derivamos cada componente de A separadamente.

Passo 4

Agora, vamos fazer a derivada na forma cartesiana. Continuando com A(t) = lang<= Ax(t), Ay(t), Az(t) rang<=, a derivada cartesiana é exatamente a que mostramos no passo anterior:
A^prime = ( d Axd t, d Ayd t, d Azd t )
As representações algébrica e cartesiana são equivalentes, apenas diferem na notação.

Passo 5

Agora, vamos às propriedades solicitadas:
(alpha) Derivada de (A + B)^prime:
A derivada de uma soma de vetores é a soma das derivadas:
(A + B)^prime = A^prime + B^prime
Isso ocorre porque a derivada distribui sobre a adição.
(beta) Derivada de varphi A:
Aqui usamos a regra do produto para derivadas:
(varphi A)^prime = varphi^prime A + varphi A^prime
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira função vezes a derivada da segunda.
(gamma) Derivada do produto escalar A cdot B:
Para o produto escalar, aplicamos a regra do produto:
(A cdot B)^prime = A^prime cdot B + A cdot B^prime
Isso significa que derivamos uma das vetores mantendo a outra constante e somamos com a derivada da outra mantendo a primeira constante.
(de Derivada do produto vetorial A times B:
Similarmente ao produto escalar, usamos a regra do produto:
(A times B)^prime = A^prime times B + A times B^prime
Ou seja, derivamos A mantendo B constante e somamos com a derivada de B mantendo A constante.

Resposta

As derivadas e propriedades solicitadas são:
(i)
A^prime = lang<= d Axd t, d Ayd t, d Azd t rang<=
(ii)
(alpha) & (A + B)^prime = A^prime + B^prime (beta) & (varphi A)^prime = varphi^prime A + varphi A^prime (gamma) & (A cdot B)^prime = A^prime cdot B + A cdot B^prime (de

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