Derivada total: seja uma função escalar
e duas funções vetoriais
e
, onde
é um parâmetro (variável). Pede-se: (i)
(algébrica e cartesiana); e (ii) propriedades:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função escalar
e duas funções vetoriais
e
, onde
é uma variável. O conteúdo aqui é derivada total de funções vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar algumas propriedades básicas das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é representada por
. Isso significa que estamos encontrando a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Vamos fazer isso de forma algébrica. Se
, então sua derivada será:
Isso quer dizer que derivamos cada componente de
separadamente.
Passo 4
Agora, vamos fazer a derivada na forma cartesiana. Continuando com
, a derivada cartesiana é exatamente a que mostramos no passo anterior:
As representações algébrica e cartesiana são equivalentes, apenas diferem na notação.
Passo 5
Agora, vamos às propriedades solicitadas:
A derivada de uma soma de vetores é a soma das derivadas:
Isso ocorre porque a derivada distribui sobre a adição.
Aqui usamos a regra do produto para derivadas:
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira função vezes a derivada da segunda.
Para o produto escalar, aplicamos a regra do produto:
Isso significa que derivamos uma das vetores mantendo a outra constante e somamos com a derivada da outra mantendo a primeira constante.
Similarmente ao produto escalar, usamos a regra do produto:
Ou seja, derivamos
mantendo
constante e somamos com a derivada de
mantendo
constante.
Resposta
As derivadas e propriedades solicitadas são:
(i)
(ii)
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