Derivada total: seja uma função escalar e duas funções vetoriais e , onde é um parâmetro (variável). Pede-se: (i) (algébrica e cartesiana); e (ii) propriedades: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função escalar e duas funções vetoriais e , onde é uma variável. O conteúdo aqui é derivada total de funções vetoriais e escalares. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar algumas propriedades básicas das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a , que é representada por . Isso significa que estamos encontrando a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos fazer isso de forma algébrica. Se , então sua derivada será:
Isso quer dizer que derivamos cada componente de separadamente.

Passo 4

Agora, vamos fazer a derivada na forma cartesiana. Continuando com , a derivada cartesiana é exatamente a que mostramos no passo anterior:
As representações algébrica e cartesiana são equivalentes, apenas diferem na notação.

Passo 5

Agora, vamos às propriedades solicitadas:
Derivada de :
A derivada de uma soma de vetores é a soma das derivadas:
Isso ocorre porque a derivada distribui sobre a adição.
Derivada de :
Aqui usamos a regra do produto para derivadas:
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira função vezes a derivada da segunda.
Derivada do produto escalar :
Para o produto escalar, aplicamos a regra do produto:
Isso significa que derivamos uma das vetores mantendo a outra constante e somamos com a derivada da outra mantendo a primeira constante.
Derivada do produto vetorial :
Similarmente ao produto escalar, usamos a regra do produto:
Ou seja, derivamos mantendo constante e somamos com a derivada de mantendo constante.

Resposta

As derivadas e propriedades solicitadas são:
(i)
(ii)

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