A partir das equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstre a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo, a saber,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente, usando as equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstrar a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo. Basicamente, vamos precisar entender as equações de Maxwell e como elas se relacionam com as ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Equações de Maxwell no vácuo. No vácuo, sem cargas elétricas nem correntes, elas ficam assim:
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Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
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Lei de Gauss para o Campo Magnético:
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Lei de Faraday da Indução:
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Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 3
Agora, a gente quer chegar na equação da onda para o campo elétrico. Para isso, vamos aplicar a operação “rotacional” (ou “curl”) na Lei de Faraday:
Passo 4
Vamos usar uma identidade vetorial que diz:
Mas, pela Lei de Gauss para o campo elétrico, sabemos que
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Substituindo a Lei de Ampère-Maxwell na equação acima:
Simplificando os sinais:
Resposta
A equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo é: