A partir das equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstre a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo, a saber, nabla^2 E=epsilon0 mu0 partial^2 E / partial t^2 cdot[0 , 0 0 / 1 , 0 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente, usando as equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstrar a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo. Basicamente, vamos precisar entender as equações de Maxwell e como elas se relacionam com as ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Maxwell no vácuo. No vácuo, sem cargas elétricas nem correntes, elas ficam assim:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
    nabla cdot E = 0
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético:
    nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday da Indução:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t

Passo 3

Agora, a gente quer chegar na equação da onda para o campo elétrico. Para isso, vamos aplicar a operação “rotacional” (ou “curl”) na Lei de Faraday:
nabla times nabla times E = nabla times ( -partial Bpartial t )

Passo 4

Vamos usar uma identidade vetorial que diz:
nabla times nabla times E = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Mas, pela Lei de Gauss para o campo elétrico, sabemos que - nabla^2 E = -partialpartial t ( nabla times B ) . Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Substituindo a Lei de Ampère-Maxwell na equação acima:
- nabla^2 E = -partialpartial t ( mu0 epsilon0 partial Epartial t )
Simplificando os sinais:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2

Resposta

A equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo é:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2

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