A partir das equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstre a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo, a saber,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente, usando as equações de Maxwell do eletromagnetismo, demonstrar a equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo. Basicamente, vamos precisar entender as equações de Maxwell e como elas se relacionam com as ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Maxwell no vácuo. No vácuo, sem cargas elétricas nem correntes, elas ficam assim:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico:
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético:
  3. Lei de Faraday da Indução:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:

Passo 3

Agora, a gente quer chegar na equação da onda para o campo elétrico. Para isso, vamos aplicar a operação “rotacional” (ou “curl”) na Lei de Faraday:

Passo 4

Vamos usar uma identidade vetorial que diz:
Mas, pela Lei de Gauss para o campo elétrico, sabemos que . Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Substituindo a Lei de Ampère-Maxwell na equação acima:
Simplificando os sinais:

Resposta

A equação da onda eletromagnética que se propaga no vácuo é:

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Determine o valor de para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
©
. Todo gradiente é um campo irrotacional. O anulamento de seu rotacional é uma identidade matemática, independentemente de qualquer física. Eletromagnetismo: Comparando a identidade matemática acima, , com a propriedade do campo elétrico coulombiano , a saber, , então podemos definir um potencial escalar elétrico , tal que . Equivalentemente, desde que , então , ou, ainda, . Esta relação entre e é conhecido como teorema do potencial.
I)
Derivada total: seja uma função escalar e duas funções vetoriais e , onde é um parâmetro (variável). Pede-se: (i) (algébrica e cartesiana); e (ii) propriedades: .