Derive, aplicando as regras de derivação: Encontre f''(x) = x^2 / (1 + 2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a segunda derivada . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, que são ferramentas que nos permitem encontrar as derivadas de funções de forma sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma segunda derivada. A segunda derivada é simplesmente a derivada da primeira derivada . Ou seja, se você tem , ao derivar novamente, você obtém .

Passo 3

Agora, como queremos encontrar , precisamos primeiramente encontrar a função que, ao ser derivada, resulta nessa expressão.
Para isso, vamos integrar . A integração é o processo inverso da derivação e nos ajuda a encontrar a função original ou suas derivadas anteriores.

Passo 4

Vamos calcular a integral de :
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos deixar , então:
Também precisamos expressar em termos de :
Substituindo na integral:
Expandindo :
Então:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar se necessário, mas como o enunciado já nos deu , confirmamos que nossa integração está correta. Caso contrário, poderíamos derivar novamente para chegar em .

Resposta

A segunda derivada é .

Exercícios relacionados