Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por e ) para a reta que passa pelo ponto e possui como um vetor diretor.
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida para uma reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente de equações de retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas que nos ajudam a descrever a reta de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar a reta usando um ponto por onde ela passa e um vetor diretor.
A fórmula geral é:
onde:
é o vetor posição de qualquer ponto da reta,
é o vetor posição do ponto conhecido (no nosso caso, ),
é o vetor diretor da reta,
é um parâmetro real.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos para as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada , e em função do parâmetro .
A gente tem:
Substituindo com nossos valores:
Simplificando:
Passo 4
Vamos seguir para as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas , e sem o parâmetro .
A fórmula geral é:
No nosso caso, como , a primeira fração fica indefinida. Isso significa que a coordenada é constante ao longo da reta. Portanto, a equação simétrica fica:
Podemos simplificar para:
Ou rearranjando:
Passo 5
Por fim, vamos às equações reduzidas da reta. Essas equações são uma forma simplificada das equações paramétricas e simétricas.
Como a equação simétrica já nos deu uma relação direta entre e , e sabemos que , podemos escrever as equações reduzidas da seguinte maneira:
Isso indica que em todos os pontos da reta, a coordenada é sempre e as coordenadas e somadas dão .