Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
(b) A=(0,3,-1) e v = (0, 1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida para uma reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente de equações de retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas que nos ajudam a descrever a reta de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma compacta de representar a reta usando um ponto por onde ela passa e um vetor diretor.
A fórmula geral é:
onde:
  • é o vetor posição de qualquer ponto da reta,
  • é o vetor posição do ponto conhecido (no nosso caso, ),
  • é o vetor diretor da reta,
  • é um parâmetro real.
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos para as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada , e em função do parâmetro .
A gente tem:
Substituindo com nossos valores:
Simplificando:

Passo 4

Vamos seguir para as equações simétricas da reta. Essas equações relacionam as coordenadas , e sem o parâmetro .
A fórmula geral é:
No nosso caso, como , a primeira fração fica indefinida. Isso significa que a coordenada é constante ao longo da reta. Portanto, a equação simétrica fica:
Podemos simplificar para:
Ou rearranjando:

Passo 5

Por fim, vamos às equações reduzidas da reta. Essas equações são uma forma simplificada das equações paramétricas e simétricas.
Como a equação simétrica já nos deu uma relação direta entre e , e sabemos que , podemos escrever as equações reduzidas da seguinte maneira:
Isso indica que em todos os pontos da reta, a coordenada é sempre e as coordenadas e somadas dão .

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:
  • Equação Simétrica:
ou, simplificada,
  • Equações Reduzidas:

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