Derive e determine o domínio de
em cada um dos itens abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função
e determinar o domínio dela. Para isso, vamos usar regras de derivação de funções compostas e entender o que é o domínio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
. Aqui temos uma função composta, porque a exponencial está com a função seno dentro. Para derivar funções compostas, usamos a Regra da Cadeia.
A Regra da Cadeia diz que a derivada de
é
, onde
é a função dentro da exponencial. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Então,
.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de
fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 6
A função exponencial
está definida para todo valor real de
. No nosso caso,
. A função seno
também está definida para todo número real
.
Passo 7
Como tanto a exponencial quanto o seno estão definidos para todos os números reais, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A derivada de
é
e o domínio de
é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
e)
e)
Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Calcule
v)
v)
Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
a)
a)