Derive uma expressão para a distribuição de temperatura em estado estacionário num cilindro sólido longo cilindro sólido de condutividade térmica k e raio , no qual a energia interna é gerada a uma taxa constante de q por unidade de volume. A superfície externa em , é exposta a um fluido à temperatura , com um coeficiente de transferência de calor constante h
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de condução de calor em um cilindro sólido longo. A ideia é descobrir como a temperatura varia ao longo do raio desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerar a geração de calor interna e aplicar as condições de contorno na superfície do cilindro. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que a temperatura só varia com o raio (simetria radial). A equação geral é:
Aqui, é a temperatura em função do raio , é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando, temos:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Passo 5
Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e .
No centro do cilindro (), a temperatura não deve ser infinita, então .
Na superfície externa (), a transferência de calor por convecção é dada por:
Passo 6
Com T(r) = -q4k r^2 + C2 , a expressão para -k ( -q2k r0 ) = h ( -q4k r0^2 + C2 - Tinfty ) simplifica para:
q2 r0 = h ( -q4k r0^2 + C2 - Tinfty )
Agora, aplicando a segunda condição de contorno:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para C2 = Tinfty + q4k r0^2 + q r02h :
Passo 8
Finalmente, substituindo T(r) = Tinfty + q4k (r0^2 - r^2) + q r02h de volta na expressão para :
Resposta
A distribuição de temperatura em estado estacionário no cilindro é dada por: