Derive uma expressão para a distribuição de temperatura em estado estacionário num cilindro sólido longo cilindro sólido de condutividade térmica k e raio , no qual a energia interna é gerada a uma taxa constante de q por unidade de volume. A superfície externa em , é exposta a um fluido à temperatura , com um coeficiente de transferência de calor constante h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de condução de calor em um cilindro sólido longo. A ideia é descobrir como a temperatura varia ao longo do raio desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerar a geração de calor interna e aplicar as condições de contorno na superfície do cilindro. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que a temperatura só varia com o raio (simetria radial). A equação geral é:
Aqui, é a temperatura em função do raio , é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando, temos:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :

Passo 5

Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e .
  1. No centro do cilindro ( ), a temperatura não deve ser infinita, então .
  2. Na superfície externa ( ), a transferência de calor por convecção é dada por:

Passo 6

Com , a expressão para simplifica para:
Agora, aplicando a segunda condição de contorno:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Finalmente, substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A distribuição de temperatura em estado estacionário no cilindro é dada por:

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