Derive uma expressão para a distribuição de temperatura em estado estacionário T(r) num cilindro sólido longo cilindro sólido de condutividade térmica k e raio r0, no qual a energia interna é gerada a uma taxa constante de q por unidade de volume. A superfície externa em r=r 0, é exposta a um fluido à temperatura T infty, com um coeficiente de transferência de calor constante h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de condução de calor em um cilindro sólido longo. A ideia é descobrir como a temperatura varia ao longo do raio desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerar a geração de calor interna e aplicar as condições de contorno na superfície do cilindro. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor em estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que a temperatura só varia com o raio (simetria radial). A equação geral é:
1r ddr ( r dTdr ) + qk = 0
Aqui, é a temperatura em função do raio , é a taxa de geração de calor por unidade de volume, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
ddr ( r dTdr ) = -q rk
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a r dTdr = -qk integral r , dr + C1 :
r dTdr = -q2k r^2 + C1
Integrando, temos:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por dTdr = -q2k r + C1r :
T(r) = -q4k r^2 + C1 ln r + C2
Agora, vamos integrar novamente para encontrar :

Passo 5

Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes -k dTdr |r=r0 = h (T(r0) - Tinfty) e .
  1. No centro do cilindro ( ), a temperatura não deve ser infinita, então .
  2. Na superfície externa ( ), a transferência de calor por convecção é dada por:

Passo 6

Com T(r) = -q4k r^2 + C2 , a expressão para -k ( -q2k r0 ) = h ( -q4k r0^2 + C2 - Tinfty ) simplifica para:
q2 r0 = h ( -q4k r0^2 + C2 - Tinfty )
Agora, aplicando a segunda condição de contorno:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para C2 = Tinfty + q4k r0^2 + q r02h :

Passo 8

Finalmente, substituindo T(r) = Tinfty + q4k (r0^2 - r^2) + q r02h de volta na expressão para :

Resposta

A distribuição de temperatura em estado estacionário no cilindro é dada por:
T(r) = Tinfty + q4k ( r0^2 - r^2 ) + q r02h

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