Uma casca esférica com raios interno e externo ri e re, respectivamente, contém componentes internos que dissipam calor, de tal modo que em um dado instante do tempo a distribuição de temperatura na casca é representada por uma expressão com a forma
T(r)=C1r+C2
Essas condições correspondem a um regime estacionário ou transiente? Como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam em função do raio?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma casca esférica com raios interno e externo . Dentro dessa casca, tem elementos que geram calor, e a distribuição de temperatura está descrita pela fórmula . A gente precisa descobrir se isso representa um regime estacionário ou transiente e como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio . Vamos usar conceitos de condução de calor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa regime estacionário e transiente. No regime estacionário, as temperaturas não mudam com o tempo, ou seja, estão estáveis. Já no regime transiente, as temperaturas variam com o tempo. A fórmula que a gente tem não depende do tempo, então já dá uma pista de que estamos lidando com um regime estacionário.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo de calor. O fluxo de calor q(r) = -k dTdr em condução radial para uma casca esférica é dado pela lei de Fourier na coordenada esférica:
onde é a condutividade térmica do material.

Passo 4

Vamos derivar a temperatura dTdr = -C1r^2 em relação a q(r) = -k ( -C1r^2 ) = k C1r^2 :
Substituindo na expressão do fluxo de calor:
Então, o fluxo de calor varia inversamente com o quadrado do raio.

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor Phi(r) = q(r) cdot A = k C1r^2 cdot 4pi r^2 = 4pi k C1 . Para uma superfície esférica, a área é . A taxa de transferência de calor é o fluxo de calor multiplicado pela área:
Aqui, notamos que é constante, independente de .

Resposta

O regime analisado é estacionário, e o fluxo de calor varia inversamente com o quadrado do raio , enquanto a taxa de transferência de calor permanece constante em função de .

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