Uma casca esférica com raios interno e externo
e
, respectivamente, contém componentes internos que dissipam calor, de tal modo que em um dado instante do tempo a distribuição de temperatura na casca é representada por uma expressão com a forma
Essas condições correspondem a um regime estacionário ou transiente? Como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam em função do raio?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma casca esférica com raios interno
e externo
. Dentro dessa casca, tem elementos que geram calor, e a distribuição de temperatura está descrita pela fórmula
. A gente precisa descobrir se isso representa um regime estacionário ou transiente e como o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor variam com o raio
. Vamos usar conceitos de condução de calor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa regime estacionário e transiente. No regime estacionário, as temperaturas não mudam com o tempo, ou seja, estão estáveis. Já no regime transiente, as temperaturas variam com o tempo. A fórmula que a gente tem não depende do tempo, então já dá uma pista de que estamos lidando com um regime estacionário.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo de calor. O fluxo de calor
em condução radial para uma casca esférica é dado pela lei de Fourier na coordenada esférica:
onde
é a condutividade térmica do material.
Passo 4
Vamos derivar a temperatura
em relação a
:
Substituindo na expressão do fluxo de calor:
Então, o fluxo de calor varia inversamente com o quadrado do raio.
Passo 5
Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor
. Para uma superfície esférica, a área
é
. A taxa de transferência de calor é o fluxo de calor multiplicado pela área:
Aqui, notamos que
é constante, independente de
.
Resposta
O regime analisado é estacionário, e o fluxo de calor varia inversamente com o quadrado do raio
, enquanto a taxa de transferência de calor permanece constante em função de
.