Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 A / m^2 no sentido positivo do eixo z . Determine o valor de se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta, de (4 d, 0,0) para (4 d, 3 d, 0), de (4 d, 3 d, 0) para (0,0,0) e de (0,0,0) para (4 d, 0,0), com d=20 cm.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma densidade de corrente que está uniformemente distribuída na direção positiva do eixo . O objetivo é calcular a integral de linha ao longo de um percurso fechado formado por três segmentos de reta no plano , com pontos específicos dados e .
Conteúdo da matéria: Isso envolve conceitos de eletromagnetismo, especificamente a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um percurso fechado com a corrente que passa através desse percurso.
O que vamos precisar:
  • Entender a Lei de Ampère.
  • Calcular a corrente total que atravessa a superfície delimitada pelo percurso.
  • Converter unidades se necessário.

Passo 2

Vamos relembrar a Lei de Ampère, que diz:
ointC H cdot dl = Ienc
Onde:
  • é a integral de linha do campo magnético ao longo do percurso fechado .
  • é a corrente total que atravessa a superfície delimitada por .
Como temos a densidade de corrente , a corrente total pode ser calculada multiplicando pela área que o percurso encerra.

Passo 3

Vamos identificar os pontos do percurso:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Isso forma um triângulo no plano .

Passo 4

Calculando a área A = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| do triângulo formado pelos pontos:
Os pontos são:
  • A = 12 |4d(3d - 0) + 4d(0 - 0) + 0(0 - 3d)| = 12 |12d^2| = 6d^2
A área de um triângulo com vértices em , , é dada por:
Substituindo os pontos:

Passo 5

Agora, calculamos a corrente total Ienc = J times A = 15 , A/m^2 times 6d^2 que atravessa a área Ienc = 15 times 6 times (0,2)^2 = 15 times 6 times 0,04 = 15 times 0,24 = 3,6 , A :
Substituindo :

Resposta

A integral de linha ao longo do percurso fechado é igual a .

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