Derive expressions for the mean and variances of the following linear combinations in terms of the means and covariances of the random variables
, and
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a média e a variância da combinação linear
usando as médias e covariâncias das variáveis aleatórias
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a média e a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias, além de entender o que são covariâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média da combinação linear
. A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é simplesmente a combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja:
Aqui,
representa a média da variável aleatória
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da combinação linear
. A variância de uma combinação linear envolve as variâncias individuais das variáveis e suas covariâncias. A fórmula geral para a variância de
é:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da variância:
Então, a variância da combinação linear depende das variâncias individuais de
e
, além da covariância entre elas.
Resposta
A média e a variância da combinação linear
são dadas por:
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where
and
. This verifies the offdiagonal elements
in (2-45) or diagonal elements if
.
Hint: By and
.
The product
Hint: By
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.