Derive expressions for the mean and variances of the following linear combinations in terms of the means and covariances of the random variables X1, X2, and X3.
(b) -X1+3 X2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a média e a variância da combinação linear usando as médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a média e a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias, além de entender o que são covariâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média da combinação linear E(-X1 + 3X2) = -E(X1) + 3E(X2) . A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é simplesmente a combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja:
Aqui, representa a média da variável aleatória .

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da combinação linear Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y) . A variância de uma combinação linear envolve as variâncias individuais das variáveis e suas covariâncias. A fórmula geral para a variância de Var(-X1 + 3X2) = (-1)^2Var(X1) + 3^2Var(X2) + 2(-1)(3)Cov(X1,X2) é:
No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da variância:
Var(-X1 + 3X2) = 1 cdot Var(X1) + 9 cdot Var(X2) - 6 cdot Cov(X1,X2)
Então, a variância da combinação linear depende das variâncias individuais de e , além da covariância entre elas.

Resposta

A média e a variância da combinação linear E(-X1 + 3X2) = -E(X1) + 3E(X2) são dadas por:
Var(-X1 + 3X2) = Var(X1) + 9Var(X2) - 6Cov(X1, X2)

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