Derive expressions for the mean and variances of the following linear combinations in terms of the means and covariances of the random variables , and .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a média e a variância da combinação linear usando as médias e covariâncias das variáveis aleatórias , e . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a média e a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias, além de entender o que são covariâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média da combinação linear . A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é simplesmente a combinação linear das médias dessas variáveis. Ou seja:
Aqui, representa a média da variável aleatória .

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância da combinação linear . A variância de uma combinação linear envolve as variâncias individuais das variáveis e suas covariâncias. A fórmula geral para a variância de é:
No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da variância:
Então, a variância da combinação linear depende das variâncias individuais de e , além da covariância entre elas.

Resposta

A média e a variância da combinação linear são dadas por:

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where and . This verifies the offdiagonal elements in (2-45) or diagonal elements if .
Hint: By and .
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.