where
and
. This verifies the offdiagonal elements
in (2-45) or diagonal elements if
.
Hint: By
and
.
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.
Hint: By
The product
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas combinações lineares de variáveis aleatórias
, expressas como
e
. Queremos encontrar a covariância entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial e propriedades da covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias
e
mede como elas variam juntas. Se a covariância é positiva, quando uma aumenta, a outra tende a aumentar também, e vice-versa.
Matematicamente, a covariância é definida como:
onde
representa o valor esperado.
Passo 3
Vamos substituir
e
pelas suas expressões em termos de
:
onde
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essas duas expressões:
Expandindo o produto, obtemos:
Passo 5
Tomando o valor esperado dessa expressão, temos:
Aqui,
é o elemento
da matriz de covariância
.
Passo 6
Substituindo na expressão, ficamos com:
Essa soma dupla pode ser representada de forma matricial. Se considerarmos
e
, então a expressão acima é igual a:
onde
é a transposta de
.
Resposta
Assim, a covariância entre
e
é dada por: