where and . This verifies the offdiagonal elements in (2-45) or diagonal elements if .
Hint: By and .
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas combinações lineares de variáveis aleatórias , expressas como e . Queremos encontrar a covariância entre e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial e propriedades da covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias e mede como elas variam juntas. Se a covariância é positiva, quando uma aumenta, a outra tende a aumentar também, e vice-versa.
Matematicamente, a covariância é definida como:
onde representa o valor esperado.

Passo 3

Vamos substituir e pelas suas expressões em termos de :
onde .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas duas expressões:
Expandindo o produto, obtemos:

Passo 5

Tomando o valor esperado dessa expressão, temos:
Aqui, é o elemento da matriz de covariância .

Passo 6

Substituindo na expressão, ficamos com:
Essa soma dupla pode ser representada de forma matricial. Se considerarmos e , então a expressão acima é igual a:
onde é a transposta de .

Resposta

Assim, a covariância entre e é dada por:

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Quando ocorre a fluência e a retração no concreto, o que esses efeitos influenciam no dimensionamento das estruturas de concreto armado?
Derive expressions for the mean and variances of the following linear combinations in terms of the means and covariances of the random variables , and .
(b)
Analise os materiais constituintes e as proporções de mistura utilizadas na produção de concretos especiais, destacando as diferenças em relação ao concreto convencional e os efeitos dessas formulações nas propriedades mecânicas, durabilidade e trabalhabilidade do concreto.
You are given the random vector with mean vector e variance-covariance matrix
Partition as
Let
e considere as combinações lineares e . Find
(g)