where and . This verifies the offdiagonal elements in (2-45) or diagonal elements if .
Hint: By and .
The product
has expected value
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas combinações lineares de variáveis aleatórias , expressas como e . Queremos encontrar a covariância entre e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial e propriedades da covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias e mede como elas variam juntas. Se a covariância é positiva, quando uma aumenta, a outra tende a aumentar também, e vice-versa.
Matematicamente, a covariância é definida como:
onde representa o valor esperado.
Passo 3
Vamos substituir e pelas suas expressões em termos de :
onde .
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essas duas expressões:
Expandindo o produto, obtemos:
Passo 5
Tomando o valor esperado dessa expressão, temos:
Aqui, é o elemento da matriz de covariância .
Passo 6
Substituindo na expressão, ficamos com:
Essa soma dupla pode ser representada de forma matricial. Se considerarmos e , então a expressão acima é igual a: