Cov(c11 X1+c12 X2+cdots+c1 p Xp, c21 X1+c22 X2+cdots+c2 p Xp)=c1^prime SigmaX c2
where c1^prime=[c11, c12, ldots, c1 p] and c2^prime=[c21, c22, ldots, c2 p]. This verifies the offdiagonal elements C SigmaX C^prime in (2-45) or diagonal elements if c1=c2.
Hint: By (2-43), Z1-E(Z1)=c11(X1-mu1)+cdots+c1 p(Xp-mup) and Z2-E(Z2)=c21(X1-mu1)+cdots+c2 p(Xp-mup) So Cov(Z1, Z2)= E[(Z1-E(Z1))(Z2-E(Z2))]=E[(c11(X1-mu1)+ cdots+c1 p(Xp-mup))(c21(X1-mu1)+c22(X2-mu2)+cdots+c2 p(Xp-mup))].
The product
& (c11(X1-mu1)+c12(X2-mu2)+cdots & +c1 p(Xp-mup))(c21(X1-mu1)+c22(X2-mu2)+cdots+c2 p(Xp-mup)) & =(sumell=1^p c1 ell(Xell-muell))(summ=1^p c2 m(Xm-mum)) & =sumell=1^p summ=1^p c1 ell c2 m(Xell-muell)(Xm-mum)
has expected value
sumell=1^p summ=1^p c1 ell c2 m sigmaell m=[c11, ldots, c1 p] Sigma[c21, ldots, c2 p]^prime
Verify the last step by the definition of matrix multiplication. The same steps hold for all elements.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas combinações lineares de variáveis aleatórias , expressas como e . Queremos encontrar a covariância entre e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial e propriedades da covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias Cov(Z1, Z2) = E[(Z1 - E[Z1])(Z2 - E[Z2)] e mede como elas variam juntas. Se a covariância é positiva, quando uma aumenta, a outra tende a aumentar também, e vice-versa.
Matematicamente, a covariância é definida como:
onde representa o valor esperado.

Passo 3

Vamos substituir Z1 - E[Z1] = c11(X1 - mu1) + c12(X2 - mu2) + cdots + c1p(Xp - mup) e Z2 - E[Z2] = c21(X1 - mu1) + c22(X2 - mu2) + cdots + c2p(Xp - mup) pelas suas expressões em termos de :
onde .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas duas expressões:
Expandindo o produto, obtemos:
(Z1 - E[Z1])(Z2 - E[Z2) = ( sumell=1^p c1ell(Xell - muell) ) ( summ=1^p c2m(Xm - mum) )

Passo 5

Tomando o valor esperado dessa expressão, temos:
E[ sumell=1^p summ=1^p c1ell c2m (Xell - muell)(Xm - mum) ] = sumell=1^p summ=1^p c1ell c2m E[(Xell - muell)(Xm - mum)]
Aqui, é o elemento da matriz de covariância .

Passo 6

Substituindo na expressão, ficamos com:
sumell=1^p summ=1^p c1ell c2m sigmaell m
Essa soma dupla pode ser representada de forma matricial. Se considerarmos c1^prime SigmaX c2 e , então a expressão acima é igual a:
onde é a transposta de .

Resposta

Assim, a covariância entre Cov(Z1, Z2) = c1^prime SigmaX c2 e é dada por:

Exercícios relacionados