Derive a função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que combinam logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a diferenciação logarítmica.
Passo 2
Para facilitar a derivação, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Começamos tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Passo 3
Utilizamos a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que, ao diferenciar
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Para diferenciar o lado direito, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de
é
:
Passo 6
Calculamos cada derivada separadamente:
-
A derivada de
é . -
Para
, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Passo 7
Substituímos as derivadas calculadas na equação:
Passo 8
Agora, voltamos à equação original onde
. Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é