Derive a função
y = (ln x)^(cos x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos derivar a função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que combinam logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a diferenciação logarítmica.

Passo 2

Para facilitar a derivação, vamos aplicar a diferenciação logarítmica. Começamos tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação:

Passo 3

Utilizamos a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que, ao diferenciar , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Para diferenciar o lado direito, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de é :

Passo 6

Calculamos cada derivada separadamente:
  1. A derivada de é .
  2. Para , aplicamos a regra da cadeia novamente:

Passo 7

Substituímos as derivadas calculadas na equação:

Passo 8

Agora, voltamos à equação original onde . Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é

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