Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico
no ponto
pode ser escrita como
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a equação do plano tangente a um paraboloide elíptico dado por
no ponto
pode ser escrita como
. Aqui, vamos precisar usar cálculo para encontrar derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a encontrar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer superfície definida por uma função
, a equação do plano tangente no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a equação do paraboloide é
. Vamos reescrever isso para deixar
isolado:
Então, nossa função é
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do plano tangente:
Passo 7
Vamos simplificar a equação. Multiplicando os termos:
Passo 8
Observamos que, pelo ponto na superfície,
. Substituindo isso:
Passo 9
Levantando o
para o outro lado:
Passo 10
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Ou rearranjando:
Resposta
Assim, mostramos que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto
é:
Exercícios relacionados
Resolva a integral iterada
Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar
e
, (2,0 pontos)
Resolva a integral dupla
sendo
a região do plano limitada pelo paralelogramo de vértices
e
.