Descreva as restrições que a interpretação de Born impõe sobre as funções de onda aceitáveis e avalie quais das seguintes funções são aceitáveis: (a)
, (b)
, ©
. Dica: plote as funções (e seu quadrado) em questão.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica que pede para descrever as restrições impostas pela interpretação de Born sobre as funções de onda aceitáveis. Além disso, tem que avaliar se algumas funções específicas são aceitáveis ou não. A gente vai precisar entender o que a interpretação de Born exige das funções de onda e aplicar isso para verificar cada uma das funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a interpretação de Born. Segundo essa interpretação, a função de onda, geralmente representada por ψ(x), descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição x. Para que essa interpretação funcione, a função de onda precisa ser probabilisticamente válida. Isso significa que:
-
A função de onda deve ser normalizável: a integral do quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço deve ser finita. Em termos matemáticos:
-
A probabilidade total deve ser igual a 1: depois de normalizar a função de onda, a integral deve ser igual a 1, garantindo que a partícula esteja em algum lugar do espaço.
Então, para cada função de onda dada, vamos calcular o quadrado dela, integrar sobre o domínio especificado e ver se o resultado é finito.
Passo 3
Vamos avaliar cada função uma por uma:
(a)
no intervalo
-
Quadrado da função:
-
Integral:
-
Conclusão: A integral é finita, então a função é normalizável e aceitável.
(b)
no intervalo
-
Quadrado da função:
-
Integral:Para
, , então a integral diverge. -
Conclusão: A integral não é finita, então a função não é normalizável e não é aceitável.
©
no intervalo
-
Quadrado da função:
-
Comportamento da função:
(arco seno) está definido apenas para entre -1 e 1. Fora desse intervalo, a função n��o é real. -
Conclusão: A função não está bem definida no intervalo
, então não é aceitável.
(d)
no intervalo
-
Quadrado da função:
-
Integral:Esta integral é conhecida e converge para
. -
Conclusão: A integral é finita, então a função é normalizável e aceitável.
(e)
no intervalo
-
Quadrado da função:
-
Integral:
-
Conclusão: A integral é finita e igual a 1, então a função é normalizável e aceitável.
Resposta
As funções de onda aceitáveis segundo a interpretação de Born são:
- (a)
no intervalo - (d)
no intervalo - (e)
no intervalo
As funções (b) e © não são aceitáveis.
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