Quais as dimensões (por análise dimensional) de uma função de onda que descreve uma partícula que se move livremente em ambas as direções e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para descobrir as dimensões de uma função de onda que descreve uma partícula que se move livremente nas direções e . Isso está relacionado com a análise dimensional, que é uma ferramenta que nos ajuda a entender as unidades físicas de uma expressão matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as unidades se relacionam na função de onda e garantir que tudo esteja coerente dimensionalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda, geralmente representada por , está ligada à probabilidade de encontrar a partícula em certa posição. A probabilidade é uma quantidade adimensional (ou seja, não tem unidade). Matemáticamente, a probabilidade de encontrar a partícula em uma região é dada por multiplicado pelo elemento de volume nessa região.

Passo 3

Como estamos trabalhando em duas dimensões, o elemento de volume é, na verdade, uma área, e podemos representar isso como . Portanto, a expressão para a probabilidade fica:
Para que essa expressão seja adimensional, as unidades de multiplicadas por as unidades de e precisam cancelar qualquer unidade que could a expressão ter.

Passo 4

Sabemos que e têm unidades de comprimento, representadas por . Então, tem unidades de área, ou seja, . Para que seja adimensional, precisa ter unidades que sejam o inverso de , ou seja, .

Passo 5

Agora, como tem unidades de , a própria função de onda deve ter unidades de , já que quando você eleva ao quadrado .

Resposta

A função de onda tem dimensões de (inverso do comprimento).

Exercícios relacionados

Descreva as restrições que a interpretação de Born impõe sobre as funções de onda aceitáveis e avalie quais das seguintes funções são aceitáveis: (a) , (b) , © . Dica: plote as funções (e seu quadrado) em questão.
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Descreva como uma função de onda determina as propriedades dinâmicas de um sistema e como estas propriedades podem ser previstas.
Discuta a relação entre amplitude de probabilidade, densidade de probabilidade e probabilidade.
Normalize (para 1) a função de onda no intervalo , com . Utilize tabelas de integrais, se necessário.