Quais as dimensões (por análise dimensional) de uma função de onda que descreve uma partícula que se move livremente em ambas as direções
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para descobrir as dimensões de uma função de onda que descreve uma partícula que se move livremente nas direções
e
. Isso está relacionado com a análise dimensional, que é uma ferramenta que nos ajuda a entender as unidades físicas de uma expressão matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as unidades se relacionam na função de onda e garantir que tudo esteja coerente dimensionalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda, geralmente representada por
, está ligada à probabilidade de encontrar a partícula em certa posição. A probabilidade é uma quantidade adimensional (ou seja, não tem unidade). Matemáticamente, a probabilidade de encontrar a partícula em uma região é dada por
multiplicado pelo elemento de volume nessa região.
Passo 3
Como estamos trabalhando em duas dimensões, o elemento de volume é, na verdade, uma área, e podemos representar isso como
. Portanto, a expressão para a probabilidade fica:
Para que essa expressão seja adimensional, as unidades de
multiplicadas por as unidades de
e
precisam cancelar qualquer unidade que could a expressão ter.
Passo 4
Sabemos que
e
têm unidades de comprimento, representadas por
. Então,
tem unidades de área, ou seja,
. Para que
seja adimensional,
precisa ter unidades que sejam o inverso de
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, como
tem unidades de
, a própria função de onda
deve ter unidades de
, já que quando você eleva ao quadrado
.
Resposta
A função de onda
tem dimensões de
(inverso do comprimento).
Exercícios relacionados
Descreva as restrições que a interpretação de Born impõe sobre as funções de onda aceitáveis e avalie quais das seguintes funções são aceitáveis: (a)
, (b)
, ©
. Dica: plote as funções (e seu quadrado) em questão.
1
Descreva como uma função de onda determina as propriedades dinâmicas de um sistema e como estas propriedades podem ser previstas.
Descreva como uma função de onda determina as propriedades dinâmicas de um sistema e como estas propriedades podem ser previstas.
Discuta a relação entre amplitude de probabilidade, densidade de probabilidade e probabilidade.
Normalize (para 1) a função de onda
no intervalo
, com
. Utilize tabelas de integrais, se necessário.