Descrever analiticamente uma função y = f(x) tal que lim(x > 3) f(x) não existe e lim(x > 6) f(x) existe.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para descrever uma função $ y = f(x) $ que tem duas propriedades especiais:
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 não existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 6 existe.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limites e de continuidade de funções. Limite é basicamente o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega perto de um ponto específico. Se o limite existe, a função se comporta de forma “legal” perto desse ponto; se não existe, pode ter um pulo, uma oscilação louca ou algo assim.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte onde o limite não existe quando $ x $ se aproxima de 3. Uma forma comum de fazer isso é colocar um “pulo” na função nesse ponto. Por exemplo, podemos definir a função de forma que ela tenha um valor diferente quando vem pela esquerda de 3 e pela direita de 3.
Passo 3
Agora, para garantir que o limite existe quando $ x $ se aproxima de 6, precisamos que a função se comporte de maneira consistente perto desse ponto. Isso significa que, à medida que $ x $ chega perto de 6 por qualquer lado, $ f(x) $ se aproxima do mesmo valor.
Passo 4
Vamos então montar uma função que combine essas ideias. Uma maneira simples é usar funções por partes (função definida por trechos). Vamos definir $ f(x) $ assim:
Passo 5
Vamos verificar:
- Quando $ x $ se aproxima de 3: Se você vem pela esquerda, $ f(x) = 1 $; se vem pela direita, $ f(x) = 2 $. Já que os valores não são iguais, o limite não existe.
- Quando $ x $ se aproxima de 6: Para todos os valores próximos a 6 (exceto exatamente em 6), $ f(x) = 2 $. Então, o limite é 2, e existe.
Resposta
Uma função que atende aos requisitos é: