Descrever analiticamente uma função y = f(x) tal que lim(x > 3) f(x) não existe e lim(x > 6) f(x) existe.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para descrever uma função $ y = f(x) $ que tem duas propriedades especiais:
  1. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 3 não existe.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 6 existe.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limites e de continuidade de funções. Limite é basicamente o valor que a função se aproxima quando $ x $ chega perto de um ponto específico. Se o limite existe, a função se comporta de forma “legal” perto desse ponto; se não existe, pode ter um pulo, uma oscilação louca ou algo assim.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte onde o limite não existe quando $ x $ se aproxima de 3. Uma forma comum de fazer isso é colocar um “pulo” na função nesse ponto. Por exemplo, podemos definir a função de forma que ela tenha um valor diferente quando vem pela esquerda de 3 e pela direita de 3.

Passo 3

Agora, para garantir que o limite existe quando $ x $ se aproxima de 6, precisamos que a função se comporte de maneira consistente perto desse ponto. Isso significa que, à medida que $ x $ chega perto de 6 por qualquer lado, $ f(x) $ se aproxima do mesmo valor.

Passo 4

Vamos então montar uma função que combine essas ideias. Uma maneira simples é usar funções por partes (função definida por trechos). Vamos definir $ f(x) $ assim:
f(x)

Passo 5

Vamos verificar:
  • Quando $ x $ se aproxima de 3: Se você vem pela esquerda, $ f(x) = 1 $; se vem pela direita, $ f(x) = 2 $. Já que os valores não são iguais, o limite não existe.
  • Quando $ x $ se aproxima de 6: Para todos os valores próximos a 6 (exceto exatamente em 6), $ f(x) = 2 $. Então, o limite é 2, e existe.

Resposta

Uma função que atende aos requisitos é:
f(x) = 1, & se x < 3 2, & se x >= 3 e x neq 6 3, & se x = 6

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