Deseja-se investigar se uma certa moléstia que ataca o rim altera o consumo deoxigênio desse. Admite-se que o consumo tem distribuição normal. Os valores medidos em 5 pacientes foram: 14, 4 ; 12,9 ; 15 ; 13,7 e 13, 5 . Calcular IC, unilateral superior, de 90 % confiança para mu. R. mu <= 14,46.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir se uma doença que ataca o rim muda o quanto de oxigênio o rim consome, certo? Para isso, vamos calcular um Intervalo de Confiança Unilateral Superior de 90% para a média de consumo de oxigênio, representada por mu. Isso significa que queremos ter 90% de certeza de que a média mu não ultrapassa um certo valor. Vamos usar a estatística para isso, especificamente trabalhando com a distribuição normal e a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Foram medidos os consumos de oxigênio em 5 pacientes:
  • 14,4
  • 12,9
  • 15,0
  • 13,7
  • 13,5
Vamos calcular a média desses valores para ter uma ideia geral.

Passo 3

A média ( x) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos calcular:
x = 14,4 + 12,9 + 15,0 + 13,7 + 13,55 = 69,55 = 13,9
Então, a média do consumo de oxigênio é 13,9.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o desvio padrão amostral ( s), que nos ajuda a entender a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - x)^2n - 1
Vamos calcular passo a passo:
  1. Subtraímos a média de cada valor:
    • 14,4 - 13,9 = 0,5
    • 12,9 - 13,9 = -1,0
    • 15,0 - 13,9 = 1,1
    • 13,7 - 13,9 = -0,2
    • 13,5 - 13,9 = -0,4
  2. Elevamos cada resultado ao quadrado:
    • (0,5)^2 = 0,25
    • (-1,0)^2 = 1,00
    • (1,1)^2 = 1,21
    • (-0,2)^2 = 0,04
    • (-0,4)^2 = 0,16
  3. Somamos esses quadrados:
    0,25 + 1,00 + 1,21 + 0,04 + 0,16 = 2,66
  4. Dividimos pela quantidade de observações menos um ( n - 1 = 5 - 1 = 4):
    2,664 = 0,665
  5. Tiramos a raiz quadrada:
    s = raiz0,665 approx 0,816
Então, o desvio padrão amostral é aproximadamente 0,816.

Passo 5

Agora, vamos construir o Intervalo de Confiança Unilateral Superior de 90% para a média mu. Como temos uma amostra pequena (n = 5) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student.
A fórmula para o limite superior é:
x + talpha ( sraizn )
Onde:
  • x é a média amostral (13,9)
  • talpha é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 90% e n - 1 = 4 graus de liberdade
  • s é o desvio padrão amostral (0,816)
  • n é o tamanho da amostra (5)

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar o valor crítico talpha. Para um intervalo unilateral superior de 90%, isso significa que a área à direita do valor crítico na distribuição t é de 10%. Com 4 graus de liberdade, consultamos uma tabela t ou usamos uma calculadora estatística:
t0,10,4 approx 1,533

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro padrão da média:
Erro padrão = sraizn = 0,816raiz5 approx 0,8162,236 approx 0,365 ã

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula do limite superior:
x + talpha ( sraizn ) = 13,9 + 1,533 times 0,365 approx 13,9 + 0,559 approx 14,46

Resposta

Portanto, o Intervalo de Confiança Unilateral Superior de 90% para a média mu é mu <= 14,46.

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