Suponha que X é uma população tal que X sim N(mu, sigma^2), em que mu e sigma^2 são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu valores sumi=1^15 xi=8,7 e sumi=1^15 xi^2=27,3
Determinar um IC com gamma=98 % para sigma^2;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma população $ X $ que segue uma distribuição normal, ou seja, $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $, onde tanto a média $ \mu $ quanto a variância $ \sigma^{2} $ são desconhecidas. Recebemos uma amostra de tamanho 15 com a soma dos valores $ \sum_{i=1}^{15} x_{i} = 8,7 $ e a soma dos quadrados desses valores $ \sum_{i=1}^{15} x_{i}^{2} = 27,3 $. O que a gente precisa fazer é determinar um intervalo de confiança de 98% para a variância $ \sigma^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variância amostral. A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = sumi=1^n xi^2 - (sumi=1^n xi)^2nn - 1
Aqui, $ n = 15 $, $ \sum x_{i} = 8,7 $ e $ \sum x_{i}^{2} = 27,3 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
n = 15
Calculando o numerador:
sum xi = 8,7
Então:
sum xi^2 = 27,3

Passo 3

Agora, vamos usar a distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) para construir o intervalo de confiança para $ \sigma^{2} $. A fórmula do intervalo é:
chi^2
Onde:
  • $ n - 1 = 14 $ são os graus de liberdade.
  • $ \alpha = 1 - 0,98 = 0,02 $.
  • Precisamos encontrar os valores críticos $ \chi^{2}{0,01} $ e $ \chi^{2}{0,99} $ para 14 graus de liberdade.

Passo 4

Vamos consultar uma tabela da distribuição qui-quadrado ou usar uma calculadora estatística para encontrar os valores críticos para 14 graus de liberdade e nível de confiança de 98%.
Encontramos que:
  • $ \chi^{2}_{0,01} \approx 6,571 $
  • $ \chi^{2}_{0,99} \approx 23,685 $

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo:
( 14 times 1,589623,685, 14 times 1,58966,571 )
Calculando:
14 times 1,589623,685 approx 22,254423,685 approx 0,940
14 times 1,58966,571 approx 22,25446,571 approx 3,385

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a variância $ \sigma^{2} $ é aproximadamente sigma^2 .

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