Suponha que
é uma população tal que
, em que
e
são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu valores
e
Determinar um IC com
para
;
Determinar um IC com
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma população $ X $ que segue uma distribuição normal, ou seja, $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $, onde tanto a média $ \mu $ quanto a variância $ \sigma^{2} $ são desconhecidas. Recebemos uma amostra de tamanho 15 com a soma dos valores $ \sum_{i=1}^{15} x_{i} = 8,7 $ e a soma dos quadrados desses valores $ \sum_{i=1}^{15} x_{i}^{2} = 27,3 $. O que a gente precisa fazer é determinar um intervalo de confiança de 98% para a variância $ \sigma^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variância amostral. A fórmula para a variância amostral é:
Aqui, $ n = 15 $, $ \sum x_{i} = 8,7 $ e $ \sum x_{i}^{2} = 27,3 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 3
Agora, vamos usar a distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) para construir o intervalo de confiança para $ \sigma^{2} $. A fórmula do intervalo é:
Onde:
- $ n - 1 = 14 $ são os graus de liberdade.
- $ \alpha = 1 - 0,98 = 0,02 $.
- Precisamos encontrar os valores críticos $ \chi^{2}{0,01} $ e $ \chi^{2}{0,99} $ para 14 graus de liberdade.
Passo 4
Vamos consultar uma tabela da distribuição qui-quadrado ou usar uma calculadora estatística para encontrar os valores críticos para 14 graus de liberdade e nível de confiança de 98%.
Encontramos que:
- $ \chi^{2}_{0,01} \approx 6,571 $
- $ \chi^{2}_{0,99} \approx 23,685 $
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo:
Calculando:
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a variância $ \sigma^{2} $ é aproximadamente
.