Um estudo foi realizado para determinar a proporção de componentes de um certo tipo que resistem durante um certo período a condições de uso mais rigorosas do que as especificadas. Em uma amostra de 200 componentes selecionados ao acaso, 160 resistiram. Apresente um intervalo de
de confiança para a proporção de componentes que resistem. R. Otimista :
e Conservativo : IC
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe uma questão de estatística, mais especificamente sobre intervalo de confiança para uma proporção. O que a gente tem aqui é uma amostra de 200 componentes, dos quais 160 resistiram a condições mais rigorosas. Nosso objetivo é descobrir, com 95% de confiança, qual a verdadeira proporção de todos os componentes que resistem nessas condições. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a fração de componentes que resistiram na nossa amostra. Isso é simples:
Então, nossa proporção amostral
é 0,8, ou seja, 80% dos componentes resistiram na amostra.
Passo 3
Agora, vamos determinar o nível de confiança que queremos, que é de 95%. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico $ z $ que corresponde a esse nível de confiança. Em tabelas de distribuição normal, o valor $ z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Com a proporção amostral e o valor $ z $ em mãos, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a nossa estimativa pode variar em relação à verdadeira proporção da população. A fórmula do erro padrão para proporção é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a margem de erro multiplicando o valor $ z $ pelo erro padrão:
Passo 6
Com a margem de erro calculada, podemos determinar o intervalo de confiança. Esse intervalo nos diz entre quais valores a verdadeira proporção da população está provavelmente localizada, com o nível de confiança escolhido. A fórmula é:
Então:
Arredondando, temos:
Isso é o intervalo otimista que você mencionou.
Resposta
O intervalo de 95% de confiança para a proporção de componentes que resistem está entre 0,745 e 0,855 no caso otimista, e entre 0,731 e 0,869 no caso conservador.