Desenhe o campo de direções da equação diferencial abaixo. Adicionalmente, verifique a sua resposta empregando um sistema de computação algébrica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que está sendo pedido. A gente recebeu uma equação diferencial que diz como
varia em relação a
:
Nosso objetivo é desenhar o campo de direções dessa equação e depois confirmar se está tudo certo usando um sistema de computação algébrica. Para isso, vamos precisar saber o que é um campo de direções e como usar a equação para determinar as inclinações das tangentes em vários pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo de direções. Um campo de direções é um conjunto de pequenas linhas ou setas desenhadas em diferentes pontos do plano
, onde cada seta indica a inclinação da solução da equação diferencial naquele ponto. Basicamente, ele nos dá uma ideia visual de como são as soluções da equação.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação diferencial para encontrar a inclinação em pontos específicos. A equação é:
Isso significa que, para qualquer ponto
, a inclinação da tangente à solução passando por esse ponto é
.
Passo 4
Vamos escolher alguns pontos para desenhar as tangentes. Por exemplo, vamos considerar os pontos
,
,
,
,
, etc. Em cada um desses pontos, vamos calcular a inclinação usando a equação.
Passo 5
Calculando a inclinação em
:
Então, no ponto
, a inclinação da tangente é
. Isso significa que a seta nesse ponto vai descer na diagonal.
Passo 6
Calculando a inclinação em
:
Aqui, a inclinação é
, então a seta será mais inclinada para baixo.
Passo 7
Calculando a inclinação em
:
A inclinação é
, então a seta será menos inclinada, mais suave.
Passo 8
Fazendo o mesmo para outros pontos, como
e
, calculamos as inclinações:
- Em
:
- Em
:
Assim, as setas nesses pontos serão inclinadas para cima.
Passo 9
Com todas essas inclinações calculadas, a gente desenha as setas correspondentes em cada ponto no plano
. Conectando essas setas, a gente consegue visualizar o campo de direções, que nos dá uma ideia de como as curvas das soluções se comportam.
Passo 10
Para confirmar que desenhamos tudo certo, vamos usar um sistema de computação algébrica, como o Wolfram Alpha ou o GeoGebra. Esses programas conseguem plotar o campo de direções automaticamente e a gente pode comparar com o que desenhamos manualmente para ver se está consistente.
Resposta
Desenhamos o campo de direções para a equação diferencial
determinando as inclinações em vários pontos e verificando com um sistema de computação algébrica. Assim, conseguimos visualizar como as soluções se comportam no plano
.
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.
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.
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