Desenhe a quádrica com a fórmula abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a quádrica definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas. Vamos precisar manipular a equação para entender melhor a forma dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação pra facilitar o entendimento. Temos:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos organizar a equação de uma forma que fique mais fácil identificar o tipo de superfície. Vamos deixar todos os termos de um lado:
Podemos rearranjar os termos:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para a variável para simplificar ainda mais a equação. Pegamos os termos que envolvem :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para que fique em uma forma mais reconhecível:
Isso pode ser visto como:

Passo 6

Observando a forma da equação, percebemos que ela se assemelha à equação de um cone duplo, mas com um deslocamento na direção . A presença dos termos quadráticos com sinais diferentes indica uma superfície cônica.

Passo 7

Para desenhar a superfície, podemos identificar alguns cortes importantes:
  • Corte com o plano :
  • Corte com o plano :
Esse último é a equação de um círculo de raio 1, centralizado em .

Passo 8

Com essas informações, podemos esboçar a superfície:
  1. Eixos principais: A superfície está centralizada em .
  2. Interseções: Temos um círculo no plano e hipérboles nos outros cortes.
  3. Forma geral: Trata-se de um cone duplo deslocado ao longo do eixo .

Resposta

A superfície quádica definida pela equação é um cone duplo deslocado ao longo do eixo , com interseções características que facilitam seu esboço.

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Resposta:
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