(a) Desenvolva expressões para a densidade planar em termos do raio atômico R para os planos (100) e (110) na estrutura CCC.
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no vanádio.
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no vanádio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
(a) Desenvolver expressões para a densidade planar em termos do raio atômico $ R $ para os planos (100) e (110) na estrutura CCC (Cúbica de Corpo Centrado).
(b) Calcular e comparar os valores da densidade planar para esses dois planos no vanádio.
Vamos precisar entender o que é densidade planar, como ela é calculada em diferentes planos cristalográficos na estrutura CCC, e usar o raio atômico do vanádio para fazer os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre densidade planar. Ela é definida como o número de átomos por unidade de área em um determinado plano cristalográfico. É uma maneira de medir quão “cheio” está um plano específico na estrutura cristalina.
Na estrutura CCC (Cúbica de Corpo Centrado), cada célula unitária tem um átomo no centro e um no vértice, totalizando dois átomos por célula. Vamos usar isso para encontrar as densidades nos planos (100) e (110).
Passo 3
Vamos começar com o plano (100).
Plano (100) na CCC:
Neste plano, temos um quadrado formado pelos átomos nos vértices e, possivelmente, o átomo no centro dependendo da posição do plano.
A área do plano (100) é simplesmente $ a^2 $, onde $ a $ é o parâmetro de rede.
Na estrutura CCC, a relação entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ R $ é:
Mas para densidade planar, usaremos uma abordagem diferente. No plano (100), cada vértice contribui com $ \frac{1}{4} $ de um átomo (já que cada átomo está compartilhado por quatro células).
Então, no plano (100):
A área do plano (100) é:
Mas precisamos expressar $ a $ em termos de $ R $. Na CCC:
Então,
Portanto, a densidade planar $ D_{100} $ é:
Passo 4
Agora, vamos para o plano (110).
Plano (110) na CCC:
Neste caso, o plano (110) intercepta dois eixos, formando um retângulo. Vamos contar quantos átomos estão nesse plano.
Cada átomo nos vértices do plano (110) contribui com $ \frac{1}{2} $ de um átomo (compartilhado por duas células).
Então, no plano (110):
A área do plano (110) é:
Novamente, substituindo $ a $ em termos de $ R $:
Então, a densidade planar $ D_{110} $ é:
Passo 5
Agora, resumimos as expressões desenvolvidas:
Resposta
As expressões para a densidade planar na estrutura CCC são: