Desenvolva um modelo baseado em equações diferenciais ordinárias para o circuito RC. Determine qual lei física foi usada para chegar nesse modelo. Obtenha a função de transferência entre a tensão de alimentação,
, e a corrente de saída, i
, no capacitor. Calcule a corrente,
segundos), considerando uma tensão de alimentação de 5 V , uma resistência de 10 Ohms e uma capacitância de 1 picofarads.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos um circuito RC, que é formado por um resistor ® e um capacitor © conectados. O objetivo é:
- Desenvolver um modelo usando equações diferenciais ordinárias para esse circuito.
- Identificar qual lei física foi utilizada para criar esse modelo.
- Encontrar a função de transferência entre a tensão de alimentação,
, e a corrente de saída, , no capacitor. - Calcular a corrente
no instante de segundos, usando os valores dados: tensão de 5 V, resistência de 10 Ohms e capacitância de 1 picofarad.
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis de Kirchhoff, especialmente a Lei das Tensões de Kirchhoff, além de conhecimentos sobre circuitos RC e como aplicar equações diferenciais para modelar sistemas elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o circuito RC usando a Lei das Tensões de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Malhas). Essa lei diz que a soma das quedas de tensão em uma malha fechada é igual à tensão fornecida pela fonte.
No circuito RC, temos uma fonte de tensão
, uma resistência
e um capacitor
. A queda de tensão na resistência é
e a queda de tensão no capacitor é
.
Segundo a Lei das Tensões de Kirchhoff:
Sabemos que a corrente
que passa pelo resistor também passa pelo capacitor. A relação entre a corrente e a tensão no capacitor é dada pela equação:
Substituindo
e
na equação de Kirchhoff:
Agora, substituindo
:
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito RC.
Passo 3
Agora, vamos obter a função de transferência entre a tensão de alimentação
e a corrente de saída
no capacitor. A função de transferência relaciona a saída do sistema (corrente
) com a entrada (tensão
) no domínio da frequência.
A partir da equação diferencial que encontramos:
Aplicando a Transformada de Laplace, considerando condições iniciais nulas, temos:
Fatorando
:
Isolando
:
A corrente
no domínio de Laplace é relacionada à tensão no capacitor por:
Substituindo
:
Portanto, a função de transferência
é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a corrente
no tempo
segundos, com os valores fornecidos:
- Tensão de alimentação:
V - Resistência:
Ohms - Capacitância:
picofarad F
Primeiro, precisamos encontrar a resposta no tempo para a corrente. Usando a função de transferência obtida e assumindo uma entrada de degrau
, temos:
Substituindo os valores de
e
:
Para encontrar
, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Agora, substituindo
segundos:
Calculando o expoente:
Portanto:
Como
é praticamente zero, temos:
Resposta
A corrente no capacitor no instante de
segundos é aproximadamente
.