Desenvolva um modelo baseado em equações diferenciais ordinárias para o circuito RC. Determine qual lei física foi usada para chegar nesse modelo. Obtenha a função de transferência entre a tensão de alimentação, v(t), e a corrente de saída, i (t), no capacitor. Calcule a corrente, i(t=10 segundos), considerando uma tensão de alimentação de 5 V , uma resistência de 10 Ohms e uma capacitância de 1 picofarads.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos um circuito RC, que é formado por um resistor ® e um capacitor © conectados. O objetivo é:
  1. Desenvolver um modelo usando equações diferenciais ordinárias para esse circuito.
  2. Identificar qual lei física foi utilizada para criar esse modelo.
  3. Encontrar a função de transferência entre a tensão de alimentação, , e a corrente de saída, , no capacitor.
  4. Calcular a corrente no instante de segundos, usando os valores dados: tensão de 5 V, resistência de 10 Ohms e capacitância de 1 picofarad.
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis de Kirchhoff, especialmente a Lei das Tensões de Kirchhoff, além de conhecimentos sobre circuitos RC e como aplicar equações diferenciais para modelar sistemas elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o circuito RC usando a Lei das Tensões de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Malhas). Essa lei diz que a soma das quedas de tensão em uma malha fechada é igual à tensão fornecida pela fonte.
No circuito RC, temos uma fonte de tensão v(t) = vR(t) + vC(t) , uma resistência i(t) = C cdot dvC(t)dt e um capacitor v(t) = R cdot i(t) + vC(t) . A queda de tensão na resistência é v(t) = R cdot C cdot dvC(t)dt + vC(t) e a queda de tensão no capacitor é .
Segundo a Lei das Tensões de Kirchhoff:
Sabemos que a corrente que passa pelo resistor também passa pelo capacitor. A relação entre a corrente e a tensão no capacitor é dada pela equação:
Substituindo e na equação de Kirchhoff:
Agora, substituindo :
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito RC.

Passo 3

Agora, vamos obter a função de transferência entre a tensão de alimentação v(t) = R cdot C cdot dvC(t)dt + vC(t) e a corrente de saída V(s) = R cdot C cdot s VC(s) + VC(s) no capacitor. A função de transferência relaciona a saída do sistema (corrente V(s) = VC(s) (R cdot C cdot s + 1) ) com a entrada (tensão VC(s) = V(s)R cdot C cdot s + 1 ) no domínio da frequência.
A partir da equação diferencial que encontramos:
I(s) = C cdot s VC(s)
Aplicando a Transformada de Laplace, considerando condições iniciais nulas, temos:
I(s) = C cdot s cdot V(s)R cdot C cdot s + 1
Fatorando H(s) = I(s)V(s) = C cdot sR cdot C cdot s + 1 :
H(s) = sR cdot s + 1C
Isolando :
A corrente no domínio de Laplace é relacionada à tensão no capacitor por:
Substituindo :
Portanto, a função de transferência é:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente I(s) = H(s) cdot V(s) = sR cdot s + 1C cdot Vs = VR cdot s + 1C no tempo I(s) = 510 cdot s + 10^12 segundos, com os valores fornecidos:
  • Tensão de alimentação: i(t) = 510^12 e^-10^1210 t = 5 times 10^-12 e^-10^11 t V
  • Resistência: i(10) = 5 times 10^-12 e^-10^11 cdot 10 Ohms
  • Capacitância: -10^11 cdot 10 = -10^12 picofarad i(10) = 5 times 10^-12 e^-10^12 F
Primeiro, precisamos encontrar a resposta no tempo para a corrente. Usando a função de transferência obtida e assumindo uma entrada de degrau i(10) approx 0 , A , temos:
Substituindo os valores de e :
Para encontrar , aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Agora, substituindo segundos:
Calculando o expoente:
Portanto:
Como é praticamente zero, temos:

Resposta

A corrente no capacitor no instante de segundos é aproximadamente .

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