Dado a função de transferência X(s)U(s)=5s^4+4 s^3+7; obtenha a equação diferencial ordinária que deu origem a essa função, considerando nula as condições iniciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de transferência, que é basicamente uma relação entre a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace. Nosso objetivo aqui é transformar essa função de transferência em uma equação diferencial ordinária (EDO). Para isso, vamos precisar entender como passar do domínio de Laplace para o domínio do tempo usando as propriedades das transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de transferência que foi dada:
X(s)U(s) = 5s^4 + 4s^3 + 7
Aqui, é a transformada de Laplace da saída e é a transformada de Laplace da entrada .

Passo 3

Para encontrar a EDO, vamos multiplicar ambos os lados da equação por D(s) cdot X(s)U(s) = 5 :
(s^4 + 4s^3 + 7)X(s) = 5U(s)
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos transformar essa equação de volta para o domínio do tempo. Sabemos que na transformada de Laplace, multiplicar por s^4X(s) rightarrow d^4x(t)dt^4 corresponde a derivar 4s^3X(s) rightarrow 4d^3x(t)dt^3 vezes no tempo. Portanto:
7X(s) rightarrow 7x(t)
5U(s) rightarrow 5u(t)
E do lado direito:

Passo 5

Substituindo todas essas transformadas na equação, temos:
d^4x(t)dt^4 + 4d^3x(t)dt^3 + 7x(t) = 5u(t)
Essa é a equação diferencial ordinária que descreve o sistema, assumindo que as condições iniciais são nulas.

Resposta

A equação diferencial ordinária correspondente é:
d^4x(t)dt^4 + 4,d^3x(t)dt^3 + 7,x(t) = 5,u(t)

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