Desenvolva o processo de transformação das equações de Maxwell na forma de integrais para o formato de equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você pediu é para transformar as Equações de Maxwell da forma integral para a forma diferencial. Isso faz parte da Eletromagnetismo, especificamente do estudo das Equações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) e o Teorema de Stokes. Esses teoremas vão nos ajudar a converter as integrais das equações para derivadas, que são mais úteis em muitos casos práticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as quatro Equações de Maxwell na forma integral:
  1. Lei de Gauss para a Eletricidade:
    ointpartial V E cdot dA = 1varepsilon0 integralV rho , dV
  2. Lei de Gauss para o Magnetismo:
    ointpartial V B cdot dA = 0
  3. Lei de Faraday:
    ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    ointpartial S B cdot dl = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA

Passo 3

Vamos começar com a Lei de Gauss para a Eletricidade. Aqui, temos uma integral de superfície da campo elétrico ointpartial V E cdot dA = integralV (nabla cdot E) , dV sobre uma superfície fechada integralV (nabla cdot E) , dV = 1varepsilon0 integralV rho , dV igualada à carga elétrica total nabla cdot E = rhovarepsilon0 dentro do volume .
Para transformar isso em forma diferencial, usamos o Teorema da Divergência, que nos permite converter uma integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz:
Então, aplicando isso na Lei de Gauss:
Como isso deve ser válido para qualquer volume , podemos igualar os termos dentro das integrais:

Passo 4

Agora, vamos para a Lei de Gauss para o Magnetismo:
ointpartial V B cdot dA = 0
Aplicando o Teorema da Divergência novamente:
integralV (nabla cdot B) , dV = 0
Novamente, como isso deve ser válido para qualquer volume nabla cdot B = 0 , temos:
Isso nos diz que não existem “monopólos magnéticos”; as linhas de campo magnético sempre formam laços fechados.

Passo 5

Seguimos para a Lei de Faraday:
ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
Aqui, queremos transformar a integral de linha em uma forma diferencial. Usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da fronteira de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo:
ointpartial S E cdot dl = integralS (nabla times E) cdot dA
Aplicando isso na Lei de Faraday:
integralS (nabla times E) cdot dA = -ddt integralS B cdot dA
Como isso deve valer para qualquer superfície nabla times E = -partial Bpartial t , podemos igualar as expressões dentro das integrais:

Passo 6

Finalmente, a Lei de Ampère-Maxwell:
ointpartial S B cdot dl = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Usando novamente o Teorema de Stokes:
ointpartial S B cdot dl = integralS (nabla times B) cdot dA
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:
integralS (nabla times B) cdot dA = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Como isso deve valer para qualquer superfície nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t , podemos igualar as expressões dentro das integrais:

Resposta

Assim, as Equações de Maxwell na forma diferencial são:
nabla cdot E = dfracrhovarepsilon0 nabla cdot B = 0 nabla times E = -dfracpartial Bpartial t nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 dfracpartial Epartial t

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