Desenvolva o processo de transformação das equações de Maxwell na forma de integrais para o formato de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você pediu é para transformar as Equações de Maxwell da forma integral para a forma diferencial. Isso faz parte da Eletromagnetismo, especificamente do estudo das Equações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) e o Teorema de Stokes. Esses teoremas vão nos ajudar a converter as integrais das equações para derivadas, que são mais úteis em muitos casos práticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as quatro Equações de Maxwell na forma integral:
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Lei de Gauss para a Eletricidade:
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Lei de Gauss para o Magnetismo:
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Lei de Faraday:
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Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 3
Vamos começar com a Lei de Gauss para a Eletricidade. Aqui, temos uma integral de superfície da campo elétrico
sobre uma superfície fechada
igualada à carga elétrica total
dentro do volume
.
Para transformar isso em forma diferencial, usamos o Teorema da Divergência, que nos permite converter uma integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz:
Então, aplicando isso na Lei de Gauss:
Como isso deve ser válido para qualquer volume
, podemos igualar os termos dentro das integrais:
Passo 4
Agora, vamos para a Lei de Gauss para o Magnetismo:
Aplicando o Teorema da Divergência novamente:
Novamente, como isso deve ser válido para qualquer volume
, temos:
Isso nos diz que não existem “monopólos magnéticos”; as linhas de campo magnético sempre formam laços fechados.
Passo 5
Seguimos para a Lei de Faraday:
Aqui, queremos transformar a integral de linha em uma forma diferencial. Usamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo da fronteira de uma superfície com a integral de superfície do rotacional desse campo:
Aplicando isso na Lei de Faraday:
Como isso deve valer para qualquer superfície
, podemos igualar as expressões dentro das integrais:
Passo 6
Finalmente, a Lei de Ampère-Maxwell:
Usando novamente o Teorema de Stokes:
Substituindo na Lei de Ampère-Maxwell:
Como isso deve valer para qualquer superfície
, podemos igualar as expressões dentro das integrais:
Resposta
Assim, as Equações de Maxwell na forma diferencial são: