Um oscilador harmônico simples e formado por um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Em um dado instante de tempo t1 (não conhecido) a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) é x(t1)=X, a velocidade é v(t1)=-V e a aceleração é a(t1)=-A. Em função dos dados do problema (X, V e A).
Amplitude de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a amplitude de oscilação de um oscilador harmônico simples. Temos um bloco de massa preso a uma mola com constante elástica . Num certo momento , a posição é , a velocidade é e a aceleração é . Nosso objetivo é descobrir qual é a amplitude dessa oscilação usando esses valores , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações básicas do movimento harmônico simples (MHS). No MHS, temos três relações principais:
  1. Posição: x(t) = A cos(omega t + phi)
  2. Velocidade: v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
  3. Aceleração: a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

No instante x(t1) = X v(t1) = -V a(t1) = -A , temos:
Vamos usar essas informações para relacionar , , e a amplitude .

Passo 4

Vamos expressar as equações do MHS no tempo X = A cos(omega t1 + phi) :
  1. Posição: -V = -A omega sin(omega t1 + phi)
  2. Velocidade: -A = -A omega^2 cos(omega t1 + phi)
  3. Aceleração:

Passo 5

Observe que as expressões para a posição e a aceleração no instante X = A cos(omega t1 + phi) são semelhantes:
-A = -A omega^2 cos(omega t1 + phi)
AA = omega^2 implies omega^2 = AX
Podemos igualar esses dois:
omega = raizAX
Então, a frequência angular é:

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da velocidade no instante -V = -A omega sin(omega t1 + phi) :
V = A omega sin(omega t1 + phi)
Simplificando:
V = A raizAX sin(omega t1 + phi)
Substituindo que encontramos:

Passo 7

Sabemos que, em MHS, a relação entre posição e velocidade é dada por:
A^2 = X^2 + (Vomega)^2
Substituindo A^2 = X^2 + (VraizAX)^2 :
A^2 = X^2 + V^2 XA
Simplificando:
A^3 = A X^2 + V^2 X
Multiplicando ambos os lados por A^3 - A X^2 - V^2 X = 0 :
A^3 = A X^2 + V^2 X
Agora, isolando A^2 = X^2 + V^2 XA :
A = raizX^2 + (Vomega)^2
Essa é uma equação cúbica em A = raizX^2 + (VraizAX)^2 = raizX^2 + V^2 XA . Para resolver, podemos reorganizar os termos:
A cdot A = A X^2 + V^2 X
Dividindo ambos os lados por A^2 = X^2 + V^2 XA (assumindo ):
No entanto, para simplificar e evitar complicações, podemos usar a relação direta que liga , e para encontrar :
Substituindo :
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, percebemos que temos uma relação implícita para . Para simplificar, assumimos que a amplitude satisfaz essa equação.

Resposta

A amplitude de oscilação A = raizX^2 + V^2 XA é dada por:
Essa equação relaciona a amplitude com os valores de posição , velocidade e aceleração no instante considerado.

Exercícios relacionados