Um oscilador harmônico simples e formado por um bloco de massa preso a uma mola de constante elástica . Em um dado instante de tempo (não conhecido) a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) é , a velocidade é e a aceleração é . Em função dos dados do problema e .
Amplitude de oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a amplitude de oscilação de um oscilador harmônico simples. Temos um bloco de massa preso a uma mola com constante elástica . Num certo momento , a posição é , a velocidade é e a aceleração é . Nosso objetivo é descobrir qual é a amplitude dessa oscilação usando esses valores , e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações básicas do movimento harmônico simples (MHS). No MHS, temos três relações principais:
Posição:
Velocidade:
Aceleração:
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular, e é a fase inicial.
Passo 3
No instante , temos:
Vamos usar essas informações para relacionar , , e a amplitude .
Passo 4
Vamos expressar as equações do MHS no tempo X = A cos(omega t1 + phi) :
Posição: -V = -A omega sin(omega t1 + phi)
Velocidade: -A = -A omega^2 cos(omega t1 + phi)
Aceleração:
Passo 5
Observe que as expressões para a posição e a aceleração no instante X = A cos(omega t1 + phi) são semelhantes:
-A = -A omega^2 cos(omega t1 + phi)
AA = omega^2 implies omega^2 = AX
Podemos igualar esses dois:
omega = raizAX
Então, a frequência angular é:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da velocidade no instante -V = -A omega sin(omega t1 + phi) :
V = A omega sin(omega t1 + phi)
Simplificando:
V = A raizAX sin(omega t1 + phi)
Substituindo que encontramos:
Passo 7
Sabemos que, em MHS, a relação entre posição e velocidade é dada por:
A^2 = X^2 + (Vomega)^2
Substituindo A^2 = X^2 + (VraizAX)^2 :
A^2 = X^2 + V^2 XA
Simplificando:
A^3 = A X^2 + V^2 X
Multiplicando ambos os lados por A^3 - A X^2 - V^2 X = 0 :
A^3 = A X^2 + V^2 X
Agora, isolando A^2 = X^2 + V^2 XA :
A = raizX^2 + (Vomega)^2
Essa é uma equação cúbica em A = raizX^2 + (VraizAX)^2 = raizX^2 + V^2 XA . Para resolver, podemos reorganizar os termos:
A cdot A = A X^2 + V^2 X
Dividindo ambos os lados por A^2 = X^2 + V^2 XA (assumindo ):
No entanto, para simplificar e evitar complicações, podemos usar a relação direta que liga , e para encontrar :
Substituindo :
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, percebemos que temos uma relação implícita para . Para simplificar, assumimos que a amplitude satisfaz essa equação.
Resposta
A amplitude de oscilação A = raizX^2 + V^2 XA é dada por:
Essa equação relaciona a amplitude com os valores de posição , velocidade e aceleração no instante considerado.