Um oscilador harmônico simples e formado por um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Em um dado instante de tempo t1 (não conhecido) a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) é x(t1)=X, a velocidade é v(t1)=-V e a aceleração é a(t1)=-A. Em função dos dados do problema (X, V e A).
Frequência de oscilação.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um oscilador harmônico simples, que é basicamente um bloco preso a uma mola. A gente sabe a posição ( x), a velocidade ( v) e a aceleração ( a) desse bloco em um instante de tempo t1. Nossa missão é descobrir a frequência de oscilação desse sistema usando esses dados: X, V e A. Para resolver isso, vamos precisar lembrar umas equações básicas do movimento harmônico simples e como a frequência está relacionada a esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações que descrevem o movimento de um oscilador harmônico simples. A posição, a velocidade e a aceleração podem ser expressas como funções do tempo t:
x(t) = X cos(omega t + phi)
v(t) = -X omega sin(omega t + phi)
a(t) = -X omega^2 cos(omega t + phi)
Aqui, omega é a frequência angular e phi é a fase inicial.

Passo 3

Na questão, sabemos que em t = t1:
x(t1) = X
v(t1) = -V
a(t1) = -A
Vamos usar essas informações para encontrar omega.

Passo 4

A partir da equação da aceleração:
a(t) = -X omega^2 cos(omega t + phi)
No instante t1:
-A = -X omega^2 cos(omega t1 + phi)
Podemos simplificar:
A = X omega^2 cos(omega t1 + phi)

Passo 5

Da equação da posição:
X = X cos(omega t1 + phi)
Dividindo os dois lados por X (assumindo X neq 0):
1 = cos(omega t1 + phi)
Isso significa que:
cos(omega t1 + phi) = 1
E, como sabemos, cos(0) = 1. Então:
omega t1 + phi = 0 (considerando o menor período) í

Passo 6

Voltando à equação da aceleração simplificada:
A = X omega^2 cos(omega t1 + phi)
Como cos(omega t1 + phi) = 1, ficou:
A = X omega^2
Agora, isolando omega:
omega^2 = AX
omega = raizAX

Passo 7

Sabemos que a frequência angular omega está relacionada à frequência f pela fórmula:
omega = 2pi f
Então, podemos resolver para f:
f = omega2pi = raizAX2pi
Simplificando:
f = raizA/X2pi

Resposta

A frequência de oscilação é f = dfracraizA/X2,pi.

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