Desenvolva a representação no domínio da frequência a) para
b) para para e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a representação no domínio da frequência de duas funções diferentes. Isso significa que vamos transformar cada função do tempo para a frequência usando a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta essencial em Engenharia e Física para analisar sinais. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Fourier em funções simples e entender um pouco sobre suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte a):
Essa função é basicamente um pulso retangular com amplitude constante entre 0 e . Para encontrar sua representação no domínio da frequência, vamos aplicar a Transformada de Fourier.
Passo 3
A Transformada de Fourier de uma função é dada por:
No caso da nossa função, como é zero fora do intervalo , a integral simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Temos:
A integral de em relação a é:
Então, aplicando os limites de 0 a :
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão usando a fórmula de Euler para funções trigonométricas. Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Passo 6
Finalmente, podemos expressar a Transformada de Fourier de forma mais concisa:
Essa é a representação no domínio da frequência da função da parte a).
Passo 7
Agora, vamos para a parte b):
Essa função é um senoide modulado por uma janela de tempo, ou seja, é um cosseno que existe apenas entre 0 e .
Passo 8
Aplicando a Transformada de Fourier novamente:
Como fora de 0 a , a integral fica:
Passo 9
Vamos expandir o cosseno usando a fórmula de Euler: