Desenvolva a representação no domínio da frequência a) f(t)=At0 para 0
b) f(t)=A cos omega t para t>0
f(t)=0 para t<0 e t0
f(t)=0 para t<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a representação no domínio da frequência de duas funções diferentes. Isso significa que vamos transformar cada função do tempo para a frequência usando a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta essencial em Engenharia e Física para analisar sinais. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Fourier em funções simples e entender um pouco sobre suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte a):
f(t) = At0 para 0 < t < t0
f(t) = 0 caso contrário á
Essa função é basicamente um pulso retangular com amplitude constante entre 0 e . Para encontrar sua representação no domínio da frequência, vamos aplicar a Transformada de Fourier.

Passo 3

A Transformada de Fourier de uma função F(omega) = integral-infty^+infty f(t) e^-jomega t dt é dada por:
F(omega) = integral0^t0 At0 e^-jomega t dt
No caso da nossa função, como é zero fora do intervalo , a integral simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Temos:
F(omega) = At0 integral0^t0 e^-jomega t dt
A integral de integral e^-jomega t dt = e^-jomega t-jomega em relação a F(omega) = At0 [ e^-jomega t-jomega ]0^t0 é:
F(omega) = At0 ( e^-jomega t0 - 1-jomega )
Então, aplicando os limites de 0 a F(omega) = At0 cdot 1 - e^-jomega t0jomega :

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando a fórmula de Euler para funções trigonométricas. Sabemos que:
1 - e^-jomega t0 = 2j sin(omega t02) e^-jomega t02
Substituindo na expressão de F(omega) = At0 cdot 2j sin(omega t02) e^-jomega t02jomega :
F(omega) = 2At0 omega sin(omega t02) e^-jomega t02

Passo 6

Finalmente, podemos expressar a Transformada de Fourier de forma mais concisa:
F(omega) = 2Aomega t0 sin(omega t02) e^-jomega t02
Essa é a representação no domínio da frequência da função da parte a).

Passo 7

Agora, vamos para a parte b):
f(t) = A cos(omega t) para t > 0
f(t) = 0 para t < 0 e t > t0
Essa função é um senoide modulado por uma janela de tempo, ou seja, é um cosseno que existe apenas entre 0 e .

Passo 8

Aplicando a Transformada de Fourier novamente:
F(omega) = integral-infty^+infty f(t) e^-jomega t dt
Como F(omega) = integral0^t0 A cos(omega t) e^-jomega t dt fora de 0 a , a integral fica:

Passo 9

Vamos expandir o cosseno usando a fórmula de Euler:
cos(omega t) = e^jomega t + e^-jomega t2
Substituindo na integral:
F(omega) = integral0^t0 A cdot e^jomega t + e^-jomega t2 cdot e^-jomega t dt
F(omega) = A2 integral0^t0 ( e^jomega t e^-jomega t + e^-jomega t e^-jomega t ) dt
F(omega) = A2 integral0^t0 (1 + e^-j2omega t) dt

Passo 10

Vamos integrar termo a termo:
F(omega) = A2 [ integral0^t0 1 , dt + integral0^t0 e^-j2omega t dt ]
F(omega) = A2 [ t g|0^t0 + e^-j2omega t-j2omega g|0^t0 ]
F(omega) = A2 [ t0 - 0 + e^-j2omega t0 - 1-j2omega ]
F(omega) = A2 [ t0 + 1 - e^-j2omega t0j2omega ]

Passo 11

Simplificando a expressão:
F(omega) = A t02 + A2 cdot 1 - e^-j2omega t0j2omega
F(omega) = A t02 + A4jomega (1 - e^-j2omega t0)
Podemos escrever isso de forma mais compacta:
F(omega) = A t02 + A4jomega - A e^-j2omega t04jomega

Passo 12

Para uma representação mais elegante, podemos combinar os termos:
F(omega) = A t02 + A4jomega (1 - e^-j2omega t0)
Essa é a Transformada de Fourier da função da parte b).

Resposta

A representação no domínio da frequência das funções dadas é:
a)
F(omega) = 2Aomega t0 sin(omega t02) e^-jomega t02
b)
F(omega) = A t02 + A4jomega (1 - e^-j2omega t0)

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