Determine o valor inicial de
quando a transformada de Laplace de
for dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor inicial da derivada de uma função
, ou seja,
, usando a transformada de Laplace que é dada por:
Vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente relacionadas a como encontrar valores iniciais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o valor inicial de
, que é
, usamos o Teorema do Valor Inicial da transformada de Laplace. Esse teorema diz que:
Então, vamos calcular esse limite para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Primeiro, simplificamos a expressão multiplicando
com o numerador:
Agora, dividimos numerador e denominador por
para simplificar o limite:
Quando
tende ao infinito, todas as frações com
no denominador vão para zero:
Então,
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos encontrar o valor inicial da derivada
. Para isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace para derivadas:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos calcular esse limite:
Primeiro, calculamos
:
Assim, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, calculamos o limite:
Dividindo numerador e denominador por
:
No entanto, revisando os cálculos, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade,
Então,
Resposta
O valor inicial de
é 0.