Determine o valor inicial de partial f(t) / partial t quando a transformada de Laplace de f(t) for dada por
F(s)=2 s+1s^2+s+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor inicial da derivada de uma função F(s) = 2s + 1s^2 + s + 1 , ou seja, , usando a transformada de Laplace que é dada por:
Vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente relacionadas a como encontrar valores iniciais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o valor inicial de f(0) = lims to infty s F(s) , que é , usamos o Teorema do Valor Inicial da transformada de Laplace. Esse teorema diz que:
Então, vamos calcular esse limite para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular f(0) = lims to infty s cdot 2s + 1s^2 + s + 1 :
f(0) = lims to infty 2s^2 + ss^2 + s + 1
Primeiro, simplificamos a expressão multiplicando f(0) = lims to infty 2 + 1s1 + 1s + 1s^2 com o numerador:
f(0) = 2 + 01 + 0 + 0 = 2
Agora, dividimos numerador e denominador por para simplificar o limite:
Quando tende ao infinito, todas as frações com no denominador vão para zero:
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que Lf'(t) = s F(s) - f(0) , vamos encontrar o valor inicial da derivada f'(0) = lims to infty [s F(s) - f(0)] . Para isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace para derivadas:
f'(0) = lims to infty [ s cdot 2s + 1s^2 + s + 1 - 2 ]
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos calcular esse limite:
Primeiro, calculamos s cdot 2s + 1s^2 + s + 1 = 2s^2 + ss^2 + s + 1 :
f'(0) = lims to infty ( 2s^2 + ss^2 + s + 1 - 2 )
Assim, temos:
2s^2 + ss^2 + s + 1 - 2 = 2s^2 + s - 2(s^2 + s + 1)s^2 + s + 1 = 2s^2 + s - 2s^2 - 2s - 2s^2 + s + 1 = -s - 2s^2 + s + 1
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
f'(0) = lims to infty -s - 2s^2 + s + 1
Agora, calculamos o limite:
f'(0) = lims to infty -1s - 2s^21 + 1s + 1s^2 = 0 + 01 + 0 + 0 = 0
Dividindo numerador e denominador por 2s^2 + ss^2 + s + 1 - 2 = 2s^2 + s - 2s^2 - 2s - 2s^2 + s + 1 = -s - 2s^2 + s + 1 :
f'(0) = lims to infty -s - 2s^2 + s + 1 = 0
No entanto, revisando os cálculos, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade,
Então,

Resposta

O valor inicial de é 0.

Exercícios relacionados