Demonstre que a transformada de Laplace de
ll f(t)=0, & para t<0 f(t)=A s e n omega t & para t >= 0 é dada por F(s)=A omega /(s^2+omega^2) é

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é zero para e igual a para . O objetivo aqui é encontrar a Transformada de Laplace dessa função, ou seja, mostrar que . Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la à função senoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt em uma função de uma variável complexa . A fórmula geral da Transformada de Laplace é:
Como nossa função é zero para , podemos começar a integração de até .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace à função LA cdot sin(omega t) = A cdot integral0^infty e^-st sin(omega t) , dt :
Lsin(omega t) = omegas^2 + omega^2
Sabemos da tabela de transformadas que:
A cdot omegas^2 + omega^2 = A omegas^2 + omega^2
Então, multiplicando pela constante , fica:

Resposta

A Transformada de Laplace de é .

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