Resolva os limites a seguir:
lim pi / 4 cos 2 xcos x-sen x
R.: raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular:
limx to pi4 cos 2xcos x - sin x
Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, um conceito fundamental em análise matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender como simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de cos 2x = cos^2 x - sin^2 x quando cos 2x = 1 - 2sin^2 x se aproxima de . Sabemos que a identidade para é:
Mas também podemos usar outra forma dessa identidade para facilitar:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão no numerador.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador (cos x - sin x)(cos x + sin x) = cos^2 x - sin^2 x = cos 2x . Queremos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos multiplicar o numerador e o denominador por para utilizar a identidade de diferença de quadrados:
Isso nos dará uma expressão mais manejável.

Passo 4

Vamos aplicar essa multiplicação na fração original:
cos 2xcos x - sin x = cos 2x (cos x + sin x)(cos x - sin x)(cos x + sin x) = cos 2x (cos x + sin x)cos 2x
Perceba que cos x + sin x no numerador e denominador se cancelam, restando:

Passo 5

Agora, o limite fica bem mais simples:
limx to pi4 (cos x + sin x)
Basta substituir por nas funções trigonométricas.

Passo 6

Sabemos que:
cos pi4 = sin pi4 = raiz22
Então,
cos x + sin x = raiz22 + raiz22 = raiz2

Resposta

O limite é .

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