Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura T1 em x=0 e T2 em x=L. Admita que as propriedades termofísicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere T1= número de letras do seu nome completo ( ^circ C), T2= número de letra do seu primeiro nome ( ^circ C) e L= a sua idade (mm)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma placa plana onde a temperatura é fixada em duas extremidades: T1 na posição x=0 e T2 na posição x=L. A ideia é descobrir como a temperatura muda de um lado para o outro da placa. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor na Física, assumindo que as propriedades do material são constantes, não tem geração de energia dentro da placa, e o calor flui somente na direção de x. Vamos precisar da equação da condução de calor em regime permanente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor no regime estacionário (ou permanente) para uma dimensão:
ddx(k dTdx) = 0
Aqui, k é a condutividade térmica do material, T é a temperatura, e x é a posição ao longo da placa. Como as propriedades são constantes e não há geração de energia interna, a equação simplifica para:
k d^2 Tdx^2 = 0

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura T(x). Primeiro, integraremos uma vez:
dTdx = C1
Aqui, C1 é uma constante de integração que vai ser determinada pelas condições de contorno.

Passo 4

Integrando novamente, obtemos:
T(x) = C1 x + C2
Agora, temos a expressão geral para a temperatura em função de x, mas ainda precisamos encontrar as constantes C1 e C2.

Passo 5

Usamos as condições de contorno para determinar C1 e C2. Sabemos que:
  • Em x=0, T = T1
  • Em x=L, T = T2
Vamos aplicar essas condições na equação de T(x).

Passo 6

Primeira condição de contorno ( x=0):
T(0) = C1 cdot 0 + C2 = T1 Rightarrow C2 = T1

Passo 7

Segunda condição de contorno ( x=L):
T(L) = C1 cdot L + T1 = T2 Rightarrow C1 = T2 - T1L

Passo 8

Agora que temos C1 e C2, substituímos de volta na equação de T(x):
T(x) = (T2 - T1L) x + T1

Resposta

A distribuição de temperatura na placa é dada por:
T(x) = T1 + (T2 - T1L) x

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