Desenvolver o perfil de temperatura em uma placa plana de temperatura
em
e
em
. Admita que as propriedades termofísicas são constantes, e que não haja geração de energia interna e que o fluxo de calor ocorre na direção de x (regime permanente e fluxo unidimensional). Considere
número de letras do seu nome completo
número de letra do seu primeiro nome
e
a sua idade
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma placa plana onde a temperatura é fixada em duas extremidades:
na posição
e
na posição
. A ideia é descobrir como a temperatura muda de um lado para o outro da placa. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor na Física, assumindo que as propriedades do material são constantes, não tem geração de energia dentro da placa, e o calor flui somente na direção de
. Vamos precisar da equação da condução de calor em regime permanente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor no regime estacionário (ou permanente) para uma dimensão:
Aqui,
é a condutividade térmica do material,
é a temperatura, e
é a posição ao longo da placa. Como as propriedades são constantes e não há geração de energia interna, a equação simplifica para:
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura
. Primeiro, integraremos uma vez:
Aqui,
é uma constante de integração que vai ser determinada pelas condições de contorno.
Passo 4
Integrando novamente, obtemos:
Agora, temos a expressão geral para a temperatura em função de
, mas ainda precisamos encontrar as constantes
e
.
Passo 5
Usamos as condições de contorno para determinar
e
. Sabemos que:
- Em
, - Em
,
Vamos aplicar essas condições na equação de
.
Passo 6
Primeira condição de contorno (
):
Passo 7
Segunda condição de contorno (
):
Passo 8
Agora que temos
e
, substituímos de volta na equação de
:
Resposta
A distribuição de temperatura na placa é dada por: