Desenvolver em série de Fourier Trigonométrica no intervalo
:
A função
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenvolver a série de Fourier trigonométrica da função
no intervalo
. Isso envolve conceitos de análise de séries de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para uma função par, já que a função
é par.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Fourier trigonométrica para uma função
no intervalo
. A série é dada por:
Como nossa função
é par (
), todos os coeficientes
serão zero. Portanto, a série simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo
, que representa a média da função no intervalo
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Sabemos que
é uma função par, então podemos simplificar a integral:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Portanto:
Como
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Novamente, como
e
são funções pares, podemos simplificar a integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração para o produto de funções cosseno e cosseno hiperbólico:
Aplicando os limites de integração de 0 a π:
Simplificando sabendo que
,
,
,
, e
:
Resposta
Portanto, a série de Fourier trigonométrica da função
no intervalo
é:
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