Desenvolver em série de Fourier Trigonométrica no intervalo :
A função

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenvolver a série de Fourier trigonométrica da função no intervalo . Isso envolve conceitos de análise de séries de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para uma função par, já que a função é par.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Fourier trigonométrica para uma função no intervalo . A série é dada por:
Como nossa função é par ( ), todos os coeficientes serão zero. Portanto, a série simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo , que representa a média da função no intervalo . A fórmula para é:
Substituindo :
Sabemos que é uma função par, então podemos simplificar a integral:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Portanto:
Como :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
Novamente, como e são funções pares, podemos simplificar a integral:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração para o produto de funções cosseno e cosseno hiperbólico:
Aplicando os limites de integração de 0 a π:
Simplificando sabendo que , , , , e :

Resposta

Portanto, a série de Fourier trigonométrica da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica:
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir: