Quando o deslocamento no MHS é a metade da amplitude Xm, que parcela da energia total é
(a) energia cinética e
(b) energia potencial?
© Para que deslocamento, em termos da amplitude, a energia do sistema está igualmente distribuída entre energia cinética e energia potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de Movimento Harmônico Simples (MHS), que é um tipo de movimento oscilatório, tipo uma mola ou um pêndulo simples. A gente vai precisar saber como calcular a energia cinética e a energia potencial nesse movimento. Vamos descobrir, passo a passo, qual a fração da energia total quando o deslocamento é metade da amplitude e também em que ponto as energias cinética e potencial ficam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total (E) em um MHS é a soma da energia cinética (EC) e da energia potencial (EP). A energia total é constante e igual a:
E = 12 k Xm^2
onde $ k $ é a constante elástica e $ X_m $ é a amplitude.

Passo 3

Quando o deslocamento $ x $ é metade da amplitude, ou seja, $ x = \frac{X_m}{2} $, temos que a energia potencial é dada por:
x

Passo 4

A energia cinética é a diferença entre a energia total e a energia potencial:
EC = E - EP = 12 k Xm^2 - 18 k Xm^2 = 48 k Xm^2 - 18 k Xm^2 = 38 k Xm^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar as frações da energia total:
(a) Energia Cinética:
ECE = 38 k Xm^212 k Xm^2 = 38 div 12 = 34
Então, a energia cinética é $ \frac{3}{4} $ ou 75% da energia total.
(b) Energia Potencial:
34
Então, a energia potencial é $ \frac{1}{4} $ ou 25% da energia total.

Passo 6

© Queremos saber para qual deslocamento $ x $ em termos de $ X_m $ as energias cinética e potencial são iguais, ou seja, $ EC = EP $.
Sabemos que:
x
Então, se $ EC = EP $:
Xm
EC = EP
EC = E - EP
Usando a expressão da energia potencial:
EC = EP
EP = E - EP
2 EP = E
EP = E2

Resposta

(a) A energia cinética é 75% da energia total;
(b) A energia potencial é 25% da energia total;
© Quando o deslocamento é $ \frac{X_m}{\sqrt{2}} $, as energias cinética e potencial estão igualmente distribuídas.

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