Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude A, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? © Com qual deslocamento, em termos da amplitude, a energia do sistema é metade cinética e metade potencial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você está perguntando sobre o Movimento Harmônico Simples (MHS), que é um tipo de movimento oscilatório, tipo uma mola ou um pêndulo. A questão quer saber qual a fração da energia total do sistema que é cinética e potencial quando o deslocamento é metade da amplitude $ A $. Além disso, quer saber com qual deslocamento, em termos de $ A $, a energia fica dividida igualmente entre cinética e potencial. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de energia cinética e potencial no MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ no MHS é constante e é igual à soma da energia cinética $ E_k $ e da energia potencial $ E_p $:
A energia total é dada por:
onde $ k $ é a constante elástica e $ A $ é a amplitude.
A energia cinética é:
E a energia potencial é:
onde $ x $ é o deslocamento e $ v $ é a velocidade.
No MHS, a velocidade pode ser relacionada ao deslocamento pela equação:
onde $ \omega $ é a frequência angular.
Mas para simplificar, vamos usar a relação de energias em termos do deslocamento.
Passo 3
Quando o deslocamento $ x $ é metade da amplitude $ A $, ou seja, $ x = \frac{A}{2} $, vamos calcular as energias cinética e potencial.
Primeiro, a energia potencial:
Como a energia total é $ E = \frac{1}{2} k A^2 $, a fração da energia potencial é:
Agora, para encontrar a energia cinética, lembramos que $ E = E_k + E_p $, então:
A fração da energia cinética é:
Passo 4
Agora, para a parte ©, queremos encontrar o deslocamento $ x $ onde a energia cinética e potencial são iguais, ou seja, $ E_k = E_p $.
Sabemos que:
Cancelando $ \frac{1}{2} k $ dos dois lados:
Usando a relação de velocidade no MHS:
Então:
Assumindo que $ \omega $ está relacionado com $ k $ e $ m $, mas como estamos tratando apenas de proporções, podemos simplificar para:
Então, o deslocamento é $ \frac{A}{\sqrt{2}} $, que é aproximadamente $ 0,707 A $.
Resposta
(a) A fração da energia cinética é $ \frac{3}{4} $
(b) A fração da energia potencial é $ \frac{1}{4} $
© O deslocamento é $ \frac{A}{\sqrt{2}} $
(b) A fração da energia potencial é $ \frac{1}{4} $
© O deslocamento é $ \frac{A}{\sqrt{2}} $