Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude A, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? © Com qual deslocamento, em termos da amplitude, a energia do sistema é metade cinética e metade potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está perguntando sobre o Movimento Harmônico Simples (MHS), que é um tipo de movimento oscilatório, tipo uma mola ou um pêndulo. A questão quer saber qual a fração da energia total do sistema que é cinética e potencial quando o deslocamento é metade da amplitude $ A $. Além disso, quer saber com qual deslocamento, em termos de $ A $, a energia fica dividida igualmente entre cinética e potencial. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de energia cinética e potencial no MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ E $ no MHS é constante e é igual à soma da energia cinética $ E_k $ e da energia potencial $ E_p $:
E
A energia total é dada por:
Ek
onde $ k $ é a constante elástica e $ A $ é a amplitude.
A energia cinética é:
Ep
E a energia potencial é:
E = Ek + Ep
onde $ x $ é o deslocamento e $ v $ é a velocidade.
No MHS, a velocidade pode ser relacionada ao deslocamento pela equação:
E = 12 k A^2
onde $ \omega $ é a frequência angular.
Mas para simplificar, vamos usar a relação de energias em termos do deslocamento.

Passo 3

Quando o deslocamento $ x $ é metade da amplitude $ A $, ou seja, $ x = \frac{A}{2} $, vamos calcular as energias cinética e potencial.
Primeiro, a energia potencial:
x
Como a energia total é $ E = \frac{1}{2} k A^2 $, a fração da energia potencial é:
A
Agora, para encontrar a energia cinética, lembramos que $ E = E_k + E_p $, então:
x = A2
A fração da energia cinética é:
Ep = 12 k (A2)^2 = 12 k A^24 = 18 k A^2

Passo 4

Agora, para a parte ©, queremos encontrar o deslocamento $ x $ onde a energia cinética e potencial são iguais, ou seja, $ E_k = E_p $.
Sabemos que:
x
Ek = Ep
Cancelando $ \frac{1}{2} k $ dos dois lados:
Ek = Ep
Usando a relação de velocidade no MHS:
12 k v^2 = 12 k x^2
Então:
12 k
v^2 = x^2
Assumindo que $ \omega $ está relacionado com $ k $ e $ m $, mas como estamos tratando apenas de proporções, podemos simplificar para:
v = omega raizA^2 - x^2
(omega raizA^2 - x^2)^2 = x^2
omega^2 (A^2 - x^2) = x^2
omega
Então, o deslocamento é $ \frac{A}{\sqrt{2}} $, que é aproximadamente $ 0,707 A $.

Resposta

(a) A fração da energia cinética é $ \frac{3}{4} $
(b) A fração da energia potencial é $ \frac{1}{4} $
© O deslocamento é $ \frac{A}{\sqrt{2}} $

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