No deslocamento para a universidade, um aluno primeiro pega um ônibus próximo à sua casa e, depois, pega outro de ônibus. O tempo total de espera (em minutos) nas duas paradas tem a seguinte f.d.p.
Verifique se integral-infty^infty f(y) d y=1.
Passo 1
Vamos analisar a função de distribuição de probabilidade (f.d.p.) que representa o tempo total de espera de um aluno nas duas paradas de ônibus. O objetivo é verificar se a integral dessa função, de menos infinito a mais infinito, é igual a 1. Para isso, precisaremos usar conceitos de cálculo, especificamente de integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, observamos a definição da função $ f(x) $:
f(x)
Como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 10 $, a integral de $ f(x) $ de menos infinito a mais infinito será igual à soma das integrais de $ f(x) $ nos intervalos onde ela é diferente de zero, ou seja, de 0 a 5 e de 5 a 10.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 5:
f(x)
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração para funções polinomiais:
integral0^5 125 x , dx
Aplicando isso:
integral x , dx = 12 x^2 + C
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 5 a 10:
f(x)
Integramos cada termo separadamente:
integral5^10 ( 25 - 125 x ) dx
e
integral 25 , dx = 25 x
Substituindo nos limites de integração:
integral 125 x , dx = 125 times 12 x^2 = 150 x^2
Calculando cada parte:
Para $ x = 10 $:
[ 25 x - 150 x^2 ]5^10 = ( 25 times 10 - 150 times 100 ) - ( 25 times 5 - 150 times 25 )
Para $ x = 5 $:
x = 10
Portanto:
25 times 10 = 4 150 times 100 = 2 Rightarrow 4 - 2 = 2
Passo 5
Finalmente, somamos as integrais dos dois intervalos: