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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ definida assim:
O que a gente precisa encontrar é $ P(X > 15) $, que é a probabilidade de $ X $ ser maior que 15. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que para uma função ser uma função de densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o espaço deve ser igual a 1. Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 10 até o infinito e igualar a 1:
Passo 3
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ é $ -\frac{1}{x} $. Então temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites. Quando $ x $ tende ao infinito, $ -\frac{1}{x} $ tende a 0. E para $ x = 10 $:
Passo 5
Resolvendo para $ c $:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ c $, nossa função de densidade fica:
Com isso, podemos calcular $ P(X > 15) $.
Passo 7
Para encontrar $ P(X > 15) $, vamos integrar $ f(x) $ de 15 até o infinito:
Passo 8
Resolvendo a integral, temos novamente:
Passo 9
Calculando o valor final:
Resposta
A probabilidade $ P(X > 15) $ é igual a $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 0,6667.