Considere f(x)=cccx^2, & x >= 10 0, & x<10
Encontre P(X>15).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ definida assim:
f(x)
O que a gente precisa encontrar é $ P(X > 15) $, que é a probabilidade de $ X $ ser maior que 15. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que para uma função ser uma função de densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o espaço deve ser igual a 1. Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 10 até o infinito e igualar a 1:
c

Passo 3

Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ é $ -\frac{1}{x} $. Então temos:
1x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites. Quando $ x $ tende ao infinito, $ -\frac{1}{x} $ tende a 0. E para $ x = 10 $:
x
-1x

Passo 5

Resolvendo para $ c $:
c

Passo 6

Agora que temos o valor de $ c $, nossa função de densidade fica:
c
Com isso, podemos calcular $ P(X > 15) $.

Passo 7

Para encontrar $ P(X > 15) $, vamos integrar $ f(x) $ de 15 até o infinito:
P(X > 15)

Passo 8

Resolvendo a integral, temos novamente:
10 [ -1x ]15^infty = 10 ( 0 - ( -115 ) ) = 10 ( 115 )

Passo 9

Calculando o valor final:
P(X > 15) = 1015 = 23 approx 0,6667

Resposta

A probabilidade $ P(X > 15) $ é igual a $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 0,6667.

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