Considere f(x)=cccx^2, & x >= 10 0, & x<10
Determine o valor da constante c para f(x) seja uma função densidade.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos apresenta uma função $ f(x) $ definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de $ x $. Queremos encontrar o valor da constante $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade de probabilidade. Isso significa que precisamos garantir que a área total sob a curva de $ f(x) $ seja igual a 1. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integração e propriedades das funções de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x) = cx^2, & se x >= 10 0, & se x < 10
Isso significa que para valores de $ x $ menores que 10, a função vale 0, e para $ x $ igual ou maior que 10, a função é $ \frac{c}{x^{2}} $.

Passo 3

Sabemos que para $ f(x) $ ser uma função de densidade, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é representado por:
f(x)
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 10 $, podemos simplificar a integral para:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ em relação a $ x $ é:
1x^2
Onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando os limites de integração de 10 a infinito:
x
Isso simplifica para:
integral 1x^2 , dx = -1x + C

Passo 5

Para encontrar o valor de $ c $, basta resolver a equação:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ é 10.

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