Considere
Determine o valor da constante
para
seja uma função densidade.
Determine o valor da constante
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos apresenta uma função $ f(x) $ definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de $ x $. Queremos encontrar o valor da constante $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade de probabilidade. Isso significa que precisamos garantir que a área total sob a curva de $ f(x) $ seja igual a 1. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integração e propriedades das funções de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que para valores de $ x $ menores que 10, a função vale 0, e para $ x $ igual ou maior que 10, a função é $ \frac{c}{x^{2}} $.
Passo 3
Sabemos que para $ f(x) $ ser uma função de densidade, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 10 $, podemos simplificar a integral para:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando os limites de integração de 10 a infinito:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ c $, basta resolver a equação:
Resposta
O valor da constante $ c $ é 10.