No deslocamento para a universidade, um aluno primeiro pega um ônibus próximo à sua casa e, depois, pega outro de ônibus. O tempo total de espera (em minutos) nas duas paradas tem a seguinte f.d.p.
Calcule E(X) e Var(X).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função densidade de probabilidade (f.d.p) do tempo total de espera $ X $ em duas paradas de ônibus. Nosso objetivo é calcular a esperança $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades de funções de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança $ E(X) $. A esperança é o valor médio esperado de $ X $ e é calculada pela integral de $ x $ multiplicado pela f.d.p $ f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $. Ou seja:
E(X)
Como $ f(x) = 0 $ fora de $ [0, 10] $, podemos simplificar a integral de 0 a 10.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes, conforme a definição da f.d.p:
E(X) = integral0^5 x cdot 125x , dx + integral5^10 x ( 25 - 125x ) , dx