No deslocamento para a universidade, um aluno primeiro pega um ônibus próximo à sua casa e, depois, pega outro de ônibus. O tempo total de espera (em minutos) nas duas paradas tem a seguinte f.d.p.
f(x)=cl 125 x, & 0 <= x<5 25-125 x, & 5 <= x <= 10 0, & x<0 ou x>10
Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função densidade de probabilidade (f.d.p) do tempo total de espera $ X $ em duas paradas de ônibus. Nosso objetivo é calcular a esperança $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades de funções de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança $ E(X) $. A esperança é o valor médio esperado de $ X $ e é calculada pela integral de $ x $ multiplicado pela f.d.p $ f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $. Ou seja:
E(X)
Como $ f(x) = 0 $ fora de $ [0, 10] $, podemos simplificar a integral de 0 a 10.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes, conforme a definição da f.d.p:
E(X) = integral0^5 x cdot 125x , dx + integral5^10 x ( 25 - 125x ) , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^5 x cdot 125x , dx = 125 integral0^5 x^2 , dx = 125 [ x^33 ]0^5 = 125 ( 1253 - 0 ) = 53

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral5^10 x ( 25 - 125x ) , dx = integral5^10 ( 25x - 125x^2 ) , dx
Vamos integrar termo a termo:
= 25 integral5^10 x , dx - 125 integral5^10 x^2 , dx
Calculando cada parte:
= 25 [ x^22 ]5^10 - 125 [ x^33 ]5^10
= 25 ( 1002 - 252 ) - 125 ( 10003 - 1253 )
= 25 cdot 752 - 125 cdot 8753 = 15 - 353 = 45 - 353 = 103

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter $ E(X) $:
E(X)

Passo 7

Para calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $, precisamos primeiro calcular $ E(X^2) $. A variância é dada por:
Var(X)
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
E(X^2)

Passo 8

Resolvendo a primeira integral para $ E(X^2) $:
E(X^2)

Passo 9

Agora, resolvemos a segunda integral para $ E(X^2) $:
E(X^2)
Integrando termo a termo:
integral5^10 x^2 ( 25 - 125x ) , dx = integral5^10 ( 25x^2 - 125x^3 ) , dx
Calculando cada parte:
= 25 integral5^10 x^2 , dx - 125 integral5^10 x^3 , dx
= 25 [ x^33 ]5^10 - 125 [ x^44 ]5^10
= 25 ( 10003 - 1253 ) - 125 ( 100004 - 6254 )
Para somar essas frações, vamos encontrar o denominador comum:
= 25 cdot 8753 - 125 cdot 93754 = 175015 - 3754 = 3503 - 3754

Passo 10

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter $ E(X^2) $:
E(X^2)

Passo 11

Finalmente, calculamos a variância usando a fórmula:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1756 - 5^2 = 1756 - 25 = 1756 - 1506 = 256

Resposta

A esperança $ E(X) $ é 5 minutos e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ é $ \frac{25}{6} $ minutos².

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