A função densidade de X é dada por f(x)=1 para 0 <= x <= 1 e f(x)=0, caso contrário. Encontre E(e^X).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade $ f(x) $ que é igual a 1 no intervalo de 0 a 1 e zero fora desse intervalo. Isso significa que a variável aleatória $ X $ está uniformemente distribuída entre 0 e 1. A pergunta quer que encontremos o valor esperado de $ e^{X} $, ou seja, $ E(e^{X}) $. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de valor esperado para uma função de uma variável aleatória contínua.

Passo 2

O valor esperado, ou esperança matemática, de uma função $ g(X) $ para uma variável contínua $ X $ com função densidade $ f(x) $ é dado por:
g(X)
No nosso caso, $ g(X) = e^{X} $ e $ f(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Como $ f(x) = 0 $ fora desse intervalo, a integral só precisa ser avaliada de 0 a 1.

Passo 3

Substituindo $ g(x) $ e $ f(x) $ na fórmula, temos:
g(x)
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é simplesmente $ e^{x} $. Então, avaliamos de 0 a 1:
e^x

Resposta

Portanto, o valor esperado $ E(e^{X}) $ é igual a $ e - 1 $.

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