A função densidade de
é dada por
para
e
, caso contrário. Encontre
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade $ f(x) $ que é igual a 1 no intervalo de 0 a 1 e zero fora desse intervalo. Isso significa que a variável aleatória $ X $ está uniformemente distribuída entre 0 e 1. A pergunta quer que encontremos o valor esperado de $ e^{X} $, ou seja, $ E(e^{X}) $. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de valor esperado para uma função de uma variável aleatória contínua.
Passo 2
O valor esperado, ou esperança matemática, de uma função $ g(X) $ para uma variável contínua $ X $ com função densidade $ f(x) $ é dado por:
No nosso caso, $ g(X) = e^{X} $ e $ f(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Como $ f(x) = 0 $ fora desse intervalo, a integral só precisa ser avaliada de 0 a 1.
Passo 3
Substituindo $ g(x) $ e $ f(x) $ na fórmula, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 4
A integral de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é simplesmente $ e^{x} $. Então, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
Portanto, o valor esperado $ E(e^{X}) $ é igual a $ e - 1 $.