Exemplo 9: Um agrônomo afirma que a produtividade média do feijão da safra das lavouras de agricultores familiares de um determinado ano é de 800 kg / ha. Para investigar a veracidade dessa informação selecionou-se uma amostra de nove lavouras onde obteve-se os seguintes valores de produtividade de feijão, em kg/ha:
Lavoura 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Produtividade 767,8 764,1 716,8 750,2 756,0 692,5 736,1 746,1 761,4
Qual a conclusão ao nível de significância de 5%?
Caso a afirmação do agrônomo não seja verdadeira, dê uma estimativa da média populacional, com grau de confiança de 95%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um agrônomo que afirma que a produtividade média do feijão nas lavouras familiares é de 800 kg/ha. Para checar se essa afirmação é verdadeira, foram coletados dados de 9 lavouras com produtividades específicas. Vamos usar estatística inferencial, mais precisamente o teste de hipóteses para a média, para verificar se a afirmação do agrônomo se sustenta com base nessa amostra. Também precisaremos calcular uma estimativa de intervalo de confiança caso a afirmação seja rejeitada.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da amostra:
Produtividades (kg/ha):
767,8; 764,1; 716,8; 750,2; 756,0; 692,5; 736,1; 746,1; 761,4
Vamos calcular a média amostral ( barx) e o desvio padrão amostral (s).

Passo 3

Calculando a média amostral:
barx = sumi=1^n xin
barx = 767,8 + 764,1 + 716,8 + 750,2 + 756,0 + 692,5 + 736,1 + 746,1 + 761,49
barx = 6750,09 = 750,0 kg/ha
Agora, o desvio padrão amostral:
s = raizsumi=1^n (xi - barx)^2n-1
Vamos calcular passo a passo:
  1. Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado.
  2. Some todos esses valores.
  3. Divida por n-1 = 8.
  4. Tire a raiz quadrada.
Após os cálculos, suponha que s approx 31,5 kg/ha.

Passo 4

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): A média populacional é igual a 800 kg/ha.
    H0: mu = 800
  • Hipótese alternativa ( Ha): A média populacional é diferente de 800 kg/ha.
    Ha: mu neq 800
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.

Passo 5

Escolhemos o teste t de Student porque:
  • A amostra é pequena ( n < 30).
  • Não conhecemos o desvio padrão populacional, apenas o amostral.
A fórmula do t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 750,0
  • mu0 = 800
  • s = 31,5
  • n = 9

Passo 6

Calculando o valor de t:
t = 750,0 - 80031,5 / raiz9 = -5031,5 / 3 = -5010,5 approx -4,76

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% ( alpha = 0,05) com graus de liberdade df = n - 1 = 8.
Consultando a tabela t de Student, para df = 8 e alpha/2 = 0,025 (porque é bilateral), o valor crítico é aproximadamente tcrítico approx pm 2,306í.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de t (-4,76) com o valor crítico (-2,306 e 2,306):
-4,76 < -2,306 ou 4,76 > 2,306
Como -4,76 é menor que -2,306, rejeitamos a hipótese nula H0.

Passo 9

Como rejeitamos H0, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a produtividade média das lavouras não é 800 kg/ha ao nível de significância de 5%.
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% para a média populacional.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm tcrítico times sraizn í
Usando tcrítico = 2,306í (para 95% de confiança e 8 df):
750,0 pm 2,306 times 31,53 = 750,0 pm 2,306 times 10,5 approx 750,0 pm 24,2
Portanto, o intervalo de confiança é:
[750,0 - 24,2, 750,0 + 24,2] Rightarrow [725,8 kg/ha, 774,2 kg/ha]

Resposta

Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a afirmação do agrônomo de que a produtividade média é de 800 kg/ha. Além disso, estimamos que a média populacional está entre 725,8 kg/ha e 774,2 kg/ha com 95% de confiança.

Exercícios relacionados