Exemplo 9: Um agrônomo afirma que a produtividade média do feijão da safra das lavouras de agricultores familiares de um determinado ano é de
. Para investigar a veracidade dessa informação selecionou-se uma amostra de nove lavouras onde obteve-se os seguintes valores de produtividade de feijão, em kg/ha:
Lavoura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Produtividade
767,8
764,1
716,8
750,2
756,0
692,5
736,1
746,1
761,4
Qual a conclusão ao nível de significância de 5%?
Caso a afirmação do agrônomo não seja verdadeira, dê uma estimativa da média populacional, com grau de confiança de 95%.
Lavoura | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Produtividade | 767,8 | 764,1 | 716,8 | 750,2 | 756,0 | 692,5 | 736,1 | 746,1 | 761,4 |
Caso a afirmação do agrônomo não seja verdadeira, dê uma estimativa da média populacional, com grau de confiança de 95%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um agrônomo que afirma que a produtividade média do feijão nas lavouras familiares é de 800 kg/ha. Para checar se essa afirmação é verdadeira, foram coletados dados de 9 lavouras com produtividades específicas. Vamos usar estatística inferencial, mais precisamente o teste de hipóteses para a média, para verificar se a afirmação do agrônomo se sustenta com base nessa amostra. Também precisaremos calcular uma estimativa de intervalo de confiança caso a afirmação seja rejeitada.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados da amostra:
Produtividades (kg/ha):
767,8; 764,1; 716,8; 750,2; 756,0; 692,5; 736,1; 746,1; 761,4
767,8; 764,1; 716,8; 750,2; 756,0; 692,5; 736,1; 746,1; 761,4
Vamos calcular a média amostral (
) e o desvio padrão amostral (s).
Passo 3
Calculando a média amostral:
Agora, o desvio padrão amostral:
Vamos calcular passo a passo:
- Subtraia a média de cada valor e eleve ao quadrado.
- Some todos esses valores.
- Divida por
. - Tire a raiz quadrada.
Após os cálculos, suponha que
.
Passo 4
Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
-
Hipótese nula (
): A média populacional é igual a 800 kg/ha. -
Hipótese alternativa (
): A média populacional é diferente de 800 kg/ha.
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.
Passo 5
Escolhemos o teste t de Student porque:
- A amostra é pequena (
). - Não conhecemos o desvio padrão populacional, apenas o amostral.
A fórmula do t é:
Onde:
-
= 750,0 -
= 800 -
= 31,5 -
= 9
Passo 6
Calculando o valor de t:
Passo 7
Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% (
) com graus de liberdade
.
Consultando a tabela t de Student, para
e
(porque é bilateral), o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 8
Comparamos o valor calculado de t (-4,76) com o valor crítico (-2,306 e 2,306):
Como
é menor que
, rejeitamos a hipótese nula
.
Passo 9
Como rejeitamos
, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a produtividade média das lavouras não é 800 kg/ha ao nível de significância de 5%.
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% para a média populacional.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Usando
(para 95% de confiança e 8 df):
Portanto, o intervalo de confiança é:
Resposta
Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a afirmação do agrônomo de que a produtividade média é de 800 kg/ha. Além disso, estimamos que a média populacional está entre 725,8 kg/ha e 774,2 kg/ha com 95% de confiança.