O desvio-padrão das alturas de 16 estudantes do sexo masculino, escolhidos aleatoriamente em uma escola de 1.000 estudantes desse sexo, é 2,4 cm. Determinar os limites de confiança de: (b) 99 % do desvio-padrão para todos os estudantes do sexo masculino da escola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre estatística aqui. Basicamente, temos a altura de 16 meninos escolhidos aleatoriamente de uma escola com 1.000 meninos. A gente sabe que o desvio-padrão dessas alturas é de 2,4 cm. O que queremos descobrir é qual é o intervalo de confiança de 99% para o desvio-padrão de todos os meninos dessa escola. Ou seja, queremos ter certeza de que o desvio-padrão real da população está dentro desse intervalo com 99% de certeza.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para calcular o intervalo de confiança do desvio-padrão, usamos a distribuição qui-quadrado ( ). Isso porque o desvio-padrão está relacionado à variância, e a distribuição qui-quadrado é usada quando trabalhamos com variância de uma população quando a amostra segue uma distribuição normal.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a fórmula para o intervalo de confiança da variância ( ( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 ) ):
Aqui:
  • é o tamanho da amostra (16).
  • é o desvio-padrão da amostra (2,4 cm).
  • e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado.
Como queremos o intervalo de confiança para o desvio-padrão, depois de achar o intervalo para a variância, vamos tirar a raiz quadrada dos limites para obter o desvio-padrão.

Passo 4

Vamos identificar . Como o nível de confiança é de 99%, então . Assim, .
Agora, precisamos encontrar os valores críticos e para graus de liberdade.
Consultando uma tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula do intervalo de confiança para a variância:
( (16 - 1) times (2,4)^230,578, (16 - 1) times (2,4)^26,262 )
Primeiro, calculamos 15 times 5,76 = 86,4 :
( 86,430,578, 86,46,262 ) approx (2,828, 13,805)
Então, o intervalo para a variância fica:

Passo 6

Agora, queremos o intervalo de confiança para o desvio-padrão, então tiramos a raiz quadrada dos limites encontrados:
( raiz2,828, raiz13,805 ) approx (1,682 cm, 3,716 cm)

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para o desvio-padrão de todos os estudantes do sexo masculino da escola é aproximadamente entre 1,68 cm e 3,72 cm.

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