O tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com taxa lambda=3 clientes por minuto. Calcule:
A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar menos de 30 segundos.

Passo 1

Vamos resolver um problema que envolve a distribuição exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre continuamente e de forma independente. Aqui, temos uma taxa lambda = 3 clientes por minuto, e queremos descobrir a probabilidade de um atendimento demorar menos de 30 segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter o tempo de 30 segundos para minutos, já que a taxa lambda está em clientes por minuto. Como 1 minuto tem 60 segundos:
30 segundos = 3060 minutos = 0,5 minutos

Passo 3

A distribuição exponencial usa a função de distribuição acumulada (CDF) para calcular a probabilidade de que o tempo T seja menor que um certo valor t. A fórmula da CDF é:
P(T < t) = 1 - e^-lambda t
Onde:
  • lambda é a taxa de ocorrência (3 clientes por minuto).
  • t é o tempo em minutos (0,5 minutos neste caso).

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
P(T < 0,5) = 1 - e^-3 times 0,5 = 1 - e^-1,5
Calculando o valor de e^-1,5:
e^-1,5 approx 0,22313
Então:
P(T < 0,5) = 1 - 0,22313 = 0,7769

Resposta

A probabilidade de o atendimento demorar menos de 30 segundos é aproximadamente 0,7769 ou 77,69%.

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