A espessura das peças de uma maquina tem função de distribuição acumulativa dada por
Calcule a média e o desvio padrão da espessura das peças.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a espessura das peças de uma máquina e nos dá uma função de distribuição acumulativa . Nosso objetivo é calcular a média e o desvio padrão dessa espessura. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulativa (CDF) e como obter a média e o desvio padrão a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulativa F(x)= 0, & se x <= 0.95 10 x - 9.5, & se 0.95 < x <= 1.05 1, & se x > 1.05 que foi dada:
Essa função nos diz a probabilidade de a espessura das peças ser menor ou igual a um certo valor .
Passo 3
Para achar a média e o desvio padrão, precisamos primeiro encontrar a função densidade de probabilidade (pdf) f(x) = 0, & se x <= 0.95 10, & se 0.95 < x <= 1.05 0, & se x > 1.05 . A pdf é a derivada da CDF . Vamos derivar cada parte de :
Para : então
Para : então
Para : então
Então, a função densidade é:
Passo 4
Agora que temos a pdf, podemos calcular a média mu = integral-infty^infty x cdot f(x) , dx usando a fórmula:
mu = integral0.95^1.05 x cdot 10 , dx
Como é diferente de zero apenas entre 0.95 e 1.05, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral para a média:
mu = 10 integral0.95^1.05 x , dx = 10 [ x^22 ]0.95^1.05 = 10 ( (1.05)^22 - (0.95)^22 )