A espessura das peças de uma maquina tem função de distribuição acumulativa dada por
Calcule a média e o desvio padrão da espessura das peças.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a espessura das peças de uma máquina e nos dá uma função de distribuição acumulativa . Nosso objetivo é calcular a média e o desvio padrão dessa espessura. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulativa (CDF) e como obter a média e o desvio padrão a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulativa que foi dada:
Essa função nos diz a probabilidade de a espessura das peças ser menor ou igual a um certo valor .

Passo 3

Para achar a média e o desvio padrão, precisamos primeiro encontrar a função densidade de probabilidade (pdf) . A pdf é a derivada da CDF . Vamos derivar cada parte de :
  • Para : então
  • Para : então
  • Para : então
Então, a função densidade é:

Passo 4

Agora que temos a pdf, podemos calcular a média usando a fórmula:
Como é diferente de zero apenas entre 0.95 e 1.05, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral para a média:
Calculando os valores:

Passo 6

Então, a média da espessura das peças é 1.

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda potência média, :

Passo 8

Resolvendo a integral:
Calculando os valores:

Passo 9

Agora, a variância é dada por:

Passo 10

Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A média da espessura das peças é e o desvio padrão é aproximadamente .

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