A espessura das peças de uma maquina tem função de distribuição acumulativa dada por
F(x)= 0, & se x <= 0.95 10 x-9.5, & se 0.951.05
Calcule a média e o desvio padrão da espessura das peças.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a espessura das peças de uma máquina e nos dá uma função de distribuição acumulativa . Nosso objetivo é calcular a média e o desvio padrão dessa espessura. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulativa (CDF) e como obter a média e o desvio padrão a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulativa F(x)= 0, & se x <= 0.95 10 x - 9.5, & se 0.95 < x <= 1.05 1, & se x > 1.05 que foi dada:
Essa função nos diz a probabilidade de a espessura das peças ser menor ou igual a um certo valor .

Passo 3

Para achar a média e o desvio padrão, precisamos primeiro encontrar a função densidade de probabilidade (pdf) f(x) = 0, & se x <= 0.95 10, & se 0.95 < x <= 1.05 0, & se x > 1.05 . A pdf é a derivada da CDF . Vamos derivar cada parte de :
  • Para : então
  • Para : então
  • Para : então
Então, a função densidade é:

Passo 4

Agora que temos a pdf, podemos calcular a média mu = integral-infty^infty x cdot f(x) , dx usando a fórmula:
mu = integral0.95^1.05 x cdot 10 , dx
Como é diferente de zero apenas entre 0.95 e 1.05, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral para a média:
mu = 10 integral0.95^1.05 x , dx = 10 [ x^22 ]0.95^1.05 = 10 ( (1.05)^22 - (0.95)^22 )
Calculando os valores:
mu = 10 ( 1.10252 - 0.90252 ) = 10 ( 0.55125 - 0.45125 ) = 10 times 0.1 = 1

Passo 6

Então, a média da espessura das peças é 1.

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda potência média, E[X^2] = integral-infty^infty x^2 cdot f(x) , dx = integral0.95^1.05 x^2 cdot 10 , dx :

Passo 8

Resolvendo a integral:
E[X^2] = 10 integral0.95^1.05 x^2 , dx = 10 [ x^33 ]0.95^1.05 = 10 ( (1.05)^33 - (0.95)^33 )
Calculando os valores:
E[X^2] = 10 ( 1.1576253 - 0.8573753 ) = 10 ( 0.385875 - 0.285792 ) = 10 times 0.100083 = 1.00083

Passo 9

Agora, a variância sigma^2 = E[X^2] - mu^2 = 1.00083 - (1)^2 = 1.00083 - 1 = 0.00083 é dada por:

Passo 10

Finalmente, o desvio padrão sigma = raiz0.00083 approx 0.0288 é a raiz quadrada da variância:

Resposta

A média da espessura das peças é e o desvio padrão é aproximadamente .

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