A espessura das peças de uma maquina tem função de distribuição acumulativa dada por
Calcule a média e o desvio padrão da espessura das peças.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a espessura das peças de uma máquina e nos dá uma função de distribuição acumulativa . Nosso objetivo é calcular a média e o desvio padrão dessa espessura. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulativa (CDF) e como obter a média e o desvio padrão a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulativa que foi dada:
Essa função nos diz a probabilidade de a espessura das peças ser menor ou igual a um certo valor .
Passo 3
Para achar a média e o desvio padrão, precisamos primeiro encontrar a função densidade de probabilidade (pdf) . A pdf é a derivada da CDF . Vamos derivar cada parte de :
Para : então
Para : então
Para : então
Então, a função densidade é:
Passo 4
Agora que temos a pdf, podemos calcular a média usando a fórmula:
Como é diferente de zero apenas entre 0.95 e 1.05, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral para a média:
Calculando os valores:
Passo 6
Então, a média da espessura das peças é 1.
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda potência média, :
Passo 8
Resolvendo a integral:
Calculando os valores:
Passo 9
Agora, a variância é dada por:
Passo 10
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A média da espessura das peças é e o desvio padrão é aproximadamente .